Estensioni autoaggiunte di operatori di Schrödinger

Abstract

In questo lavoro studiamo l'operatore di Schrödinger L, come operatore lineare densamente definito sullo spazio di Hilbert delle funzioni misurabili e a quadrato sommabili sullo spazio euclideo di dimensione d. Tale operatore è univocamente determinato da una scelta di potenziale, ovvero una funzione misurabile a valori reali q, e da una scelta di dominio D. L'obiettivo principale è analizzare le proprietà di autoaggiunzione di L, relativamente a proprietà di q e di D. Questo tema è di particolare interesse, ad esempio, in meccanica quantistica, dove gli operatori di Schrödinger emergono come Hamiltoniane quantistiche di un sistema; l'evoluzione del sistema è univocamente determinata solo se l'Hamiltoniana è autoaggiunta o essenzialmente autoaggiunta. Procediamo come segue. Inizialmente, consideriamo q localmente integrabile e, attraverso la teoria delle forme sesquilineari, mostriamo che L ammette dominio di autoaggiunzione, se q è anche limitato dal basso. Successivamente, consideriamo L definito sullo spazio delle funzioni lisce a supporto compatto, e q localmente a quadrato integrabile, in modo che L sia ben definito. Dimostriamo allora, attraverso la teoria degli indici di difetto, che L ammette estensioni autoaggiunte. Inoltre, esaminiamo risultati di Kato, Nelson e Faris, dove si ottiene l'essenziale autoaggiunzione di L, a seconda che q soddisfi condizioni di integrabilità più forti o condizioni di limitatezza dal basso. Invece, la condizione di q localmente a quadrato sommabile non è sufficiente affinché L sia essenzialmente autoaggiunto.

La teoria delle distribuzioni e degli spazi di Sobolev generali, in particolare i teoremi di immersione di Sobolev, svolgono un ruolo importante, insieme alle proprietà dello spazio Euclideo stesso.

In this work we study the Schrödinger operator L, as linear and densely defined on the Hilbert space of measurable and square integrable functions on the Euclidean space of dimension d. Such an operator is determined by a choice of domain and of potential, namely a realvalued measurable function q. The main goal here is to study properties of selfadjointness of L, depending on q and on D. This subject is of interest for example in quantum mechanics, where the Schrödinger operators emerge as quantum Hamiltonians of a system; only if the Hamiltonian is selfadjoint or essentially selfadjoint can the evolution of the system be uniquely determined. We proceed as follows. At first, it makes sense to consider q locally integrable and, through the theory of sesquilinear forms, we show that L admits a domain D of selfadjointness, if q is also bounded from below. Then, we consider L defined on the space of smooth functions with compact support, with q locally square integrable, so that L is well defined. In this context, we show, via the theory of deficiency indices, that L admits selfadjoint extensions. Also, we examine results by Kato, Nelson and Faris, where the essential selfadjointness of L is obtained, depending on q satisfying stronger integrability conditions or lower boundedness conditions; in fact, the sole condition for q to be locally square integrable is not enough to obtain the essential selfadjointness of L.

Theory of distributions and of general Sobolev spaces, in particular the Sobolev embedding theorems play an important role, together with properties of the Euclidean space itself.