Sulle proprietà di continuità nei metodi numerici per problemi inversi

Abstract

Nella risoluzioni di problemi inversi mal posti che coinvolgono operatori lineari, la regolarità della soluzione gioca un ruolo cruciale. La regolarità, intuitivamente legata alla "liscezza" di un segnale, viene descritta in matematica principalmente in termini di continuità e differenziabilità. Questa tesi indaga sulle proprietà di regolarità nelle soluzioni numeriche dei problemi inversi, con particolare attenzione alla continuità di Hölder. La ricerca introduce una definizione generale utile nel valutare la continuità delle soluzioni nell'analisi numerica, indipendentemente dalla discretizzazione diretta di un segnale su una griglia. Lo studio affronta le proprietà e le invarianze della condizione di Hölder sia in contesti discreti che continui. Vengono dimostrati risultati sulla continuità di Hölder delle soluzioni ai problemi inversi, basati su ipotesi riguardanti la regolarità dei dati e i kernel degli operatori integrali, anche in contesti classici di algoritmi regolarizzanti quali Tikhonov e l'iterazione di Landweber. La tesi propone metodi per sfruttare i risultati discussi nella risoluzione numerica dei problemi inversi. Vengono presentate considerazioni numeriche sui metodi proposti applicate a problemi di test con operatori integrali, presentando infine una discussione sui potenziali sviluppi futuri di questo lavoro.

In solving ill-posed inverse problems involving linear operators, the regularity of the solution plays a crucial role. Regularity, intuitively linked to the smoothness of a signal, is described in mathematics mainly in terms of continuity and differentiability. This thesis investigates the regularity properties in numerical solutions of inverse problems, with particular attention to Hölder continuity. The research introduces a general definition useful in evaluating the continuity of solutions in numerical analysis, independently of the direct discretization of a signal on a grid. The study addresses the properties and invariances of the Hölder condition in both discrete and continuous contexts. Results on the Hölder continuity of solutions to inverse problems are demonstrated, based on assumptions concerning the regularity of the data and the kernels of integral operators, even in classical contexts of regularization algorithms such as Tikhonov and Landweber iteration. The thesis proposes methods to leverage the discussed results in the numerical resolution of inverse problems. Numerical considerations of the proposed methods applied to test problems with integral operators are presented, followed by a discussion on numerous potential future developments of this work.