Operatori massimali

Abstract

La tesi è incentrata sullo studio degli operatori massimali. Dopo aver studiato alcuni risultati preliminari, andremo ad analizzare le proprietà di limitatezza degli operatori massimali di Hardy-Littlewood su spazi di Lebesgue. Mediante il metodo di interpolazione reale di Marcinkiewicz, sarà possibile dimostrare che tali operatori sono di tipo debole (1, 1) e forte (p, p) per p > 1, con una stima della norma che dipende dalla dimensione dello spazio euclideo. Successivamente, prendendo come riferimento un articolo di J. Kinnunen, si andrà ad analizzare la limitatezza dell’operatore massimale centrato sugli spazi di Sobolev per ogni p > 1. Il risultato di Kinnunen si estende facilmente a tutti gli operatori sublineari limitati sugli spazi di Lebesgue per p > 1 e che commutano con le traslazioni. La seconda parte della tesi è incentrata sullo studio dell’operatore massimale del calore. Sfruttando la possibilità di maggiorare puntualmente l’operatore massimale del calore con l’operatore massimale di Hardy-Littlewood centrato, sarà possibile dedurre un risultato di limitatezza debole (1, 1) e forte (p, p) anche per l’operatore massimale del calore. Adattando senza particolari difficoltà l’argomento di Kinnunen, sarà poi possibile dedurre la limitatezza di tale operatore su spazi di Sobolev per p > 1. L’ultima parte della tesi è dedicata allo studio di un articolo di E. Carneiro e B. F. Svaiter, in cui si mostra l’esistenza di stime contrattive in norma p che legano i gradienti deboli della funzione massimale del calore e del dato iniziale Sobolev. Sarà possibile dimostrare tali stime per ogni p > 1 nel caso unidimensionale e soltanto per p = 2 e p = ∞ nel caso multidimensionale.

The thesis is focused on the study of maximal operators. After giving some preliminary results, we will analyze the properties of the centered and uncentered Hardy-Littlewood maximal operators on Lebesgue spaces. By the real interpolation method of Marcinkiewicz, it will be possible to prove that these operators are weak type (1, 1) and strong type (p, p) operators for every p > 1, with an estimate of the norm which depends on the dimension of the Euclidean space. Taking into account a Kinnunen's paper published in 1997, we will study the boundedness of the centered Hardy-Littlewood maximal operator on Sobolev spaces for every p > 1. Kinnunen's proof can be easily extended to all the sublineral operators which are bounded on Lebesgue spaces for p > 1 and commute with translations. The second part of the thesis concerns the properties of the heat maximal operator. By taking advantage of the possibility to dominate the heat maximal operator with the centered Hardy-Littlewood maximal operator, it will be possible to deduce a weak type (1, 1) and strong type (p, p) boundedness result also for the heat maximal operator. By adapting Kinnunen's proof, we may deduce the boundedness of this operator on Sobolev spaces for every p > 1. The last part of the thesis is focused on the study of an E. Carneiro and B. F. Svaiter's paper, published in 2013, in which it is shown that there exist contractive stimates in p-norm linking the weak gradients of the heat maximal function and the Sobolev data. It will be possible to prove these estimates for every p > 1 in the one-dimensional case and only for p = 2 and p = ∞ in the multidimensional case.