Deformazioni di rappresentazioni di gruppi di Galois

Abstract

Questa tesi esplora la teoria dei gruppi di Galois e delle loro rappresentazioni, con un focus particolare sulla Teoria delle Deformazioni. La Teoria delle Rappresentazioni di Galois svolge un ruolo centrale nella moderna Teoria dei Numeri Algebrica, fornendo collegamenti profondi tra strutture aritmetiche e algebriche. Lo studio delle deformazioni delle rappresentazioni di Galois ha implicazioni significative, in particolare nel contesto delle curve ellittiche e delle forme modulari.

L’obiettivo principale di questo lavoro è introdurre il quadro teorico della Teoria delle Deformazioni e applicarlo per abbozzare una dimostrazione di due teoremi fondamentali: il Teorema di Modularità e l'Ultimo Teorema di Fermat. Il Teorema di Modularità, dimostrato da Andrew Wiles, afferma che ogni curva ellittica semistabile su Q è modulare. Questo risultato è stato cruciale per la successiva dimostrazione dell'Ultimo Teorema di Fermat, il quale afferma che l'equazione x^n+y^n=z^n non ha soluzioni intere non banali per n un numero naturale strettamente maggiore di 2.

Nei capitoli iniziali, vengono introdotti i concetti fondamentali di valori assoluti, campi completi, gruppi profiniti e rappresentazioni di Galois. Segue un approfondito studio del funtore delle deformazioni, della sua rappresentabilità e dell'esistenza delle deformazioni universali. Utilizzando il teorema di Schlessinger e il teorema di Mazur-Ramakrishma, esaminiamo la struttura degli anelli delle deformazioni e le loro applicazioni.

Infine, presentiamo il legame tra la Teoria delle Deformazioni, la modularità e le curve ellittiche, dimostrando come gli strumenti della teoria delle rappresentazioni facilitino la dimostrazione di questi teoremi fondamentali. Questa tesi mette in evidenza l'importanza della Teoria delle Deformazioni come strumento potente per risolvere problemi di lunga data nella teoria dei numeri.

This thesis explores the theory of Galois groups and their representations, with a particular focus on Deformation Theory. Galois Representation Theory plays a central role in modern Algebraic Number Theory, providing deep connections between arithmetic and algebraic structures. The study of deformations of Galois representations has profound implications, especially in the context of elliptic curves and modular forms.

The main objective of this work is to introduce the theoretical framework of Deformation Theory and apply it to sketch a proof of two major theorems: the Modularity Theorem and Fermat’s Last Theorem. The Modularity Theorem, proven by Andrew Wiles, asserts that every semistable elliptic curve over Q is modular. This result was instrumental in the eventual proof of Fermat’s Last Theorem, which states that the equation x^n+y^n=z^n has no non-trivial integer solutions for n a natural number stricly greater than 2.

In the initial chapters, the foundational concepts of absolute values, complete fields, profinite groups, and Galois representations are introduced. This is followed by an in-depth study of the deformation functor, its representability, and the existence of universal deformations. Using Schlessinger's theorem and the Mazur-Ramakrishma theorem, we examine the structure of deformation rings and their applications.

Finally, we present the connection between Deformation Theory, modularity, and elliptic curves, demonstrating how the tools of representation theory facilitate the proof of these landmark theorems. This thesis highlights the significance of Deformation Theory as a powerful tool in resolving longstanding problems in number theory.