Olonomia e Teorema di Berger

Abstract

Per rispondere alla domanda: “in che modo possiamo far ritornare vettori tangenti ad una varietà liscia nel rispettivo spazio tangente dopo averli trasportati lungo curve chiuse?“ Si introduce il trasporto parallelo lungo curve chiuse di elementi di un fibrato vettoriale, sfruttando il concetto di connessione: uno strumento che permette di effettuare derivate covarianti e di parlare di curvatura. Queste nozioni vengono introdotte anche nel mondo dei fibrati principali, ponendo particolare attenzione sulle relazioni tra il sottofibrato verticale e una mappa che induce campi vettoriali attraverso l’azione di opportune curve integrali. Vengono relazionati i mondi dei fibrati vettoriali e principali e si vedono i legami tra le due definizioni distinte di connessione, modi per associare un fibrato principale a ciascun fibrato vettoriale, e modi per associare ad ogni fibrato principale (munito di una rappresentazione) un fibrato vettoriale.Si procede con lo studio delle mappe di trasporto parallelo provenienti da loop nella varietà di base, che insieme costituiscono il gruppo di Olonomia della connessione. Esso è strettamente legato alla curvatura della varietà. I gruppi di Olonomia si costruiscono analogamente nel mondo dei fibrati principali, e queste due costruzioni vengono messe in relazione in modo da poter sfruttare entrambe le teorie. La domanda iniziale diventa: quali sono i gruppi di Olonomia di connessioni sul fibrato tangente ad una varietà? In generale la risposta non è nota, ma concentrandosi su varietà riemanniane opportune con connessione di Levi Civita, Marcel Berger riuscì a fornire una classificazione, che individua 7 possibili gruppi, ed è ad oggi noto che tutti e 7 sono realizzabili a partire da varietà riemanniane irriducibili e non simmetriche. Si presenta il teorema con uno sketch della sua dimostrazione e si vedono collegamenti con la presenza di strutture complesse sulla varietà che acquisisce di conseguenza proprietà Kahler o Hyperkahler.

To answer the question, "How can we return tangent vectors to a smooth variety in the respective tangent space after transporting them along closed curves?" Parallel transport along closed curves of elements of a fiber bundle is introduced, exploiting the concept of connection: a tool that allows us to make covariant derivatives and talk about curvature. These notions are also introduced in the world of principal bundles, paying particular attention to the relationships between the vertical subbundle and a map that induces vector fields through the action of appropriate integral curves. The worlds of vector and principal bundles are related, and we see links between the two distinct definitions of connection, ways of associating a principal bundle with each vector bundle, and ways of associating a vector bundle with each principal bundle (provided with a representation) are seen.The study of parallel transport maps from loops in the basic manifold, which together constitute the Connection Holonomy group. Holonomy groups are similarly constructed in the world of principal bundles, and these two constructions are related so that both theories can be exploited. The initial question becomes: what are the Holonomy groups of connections on the tangent bundle of a manifold? In general, the answer is not known, but by focusing on suitable Riemannian varieties with Levi Civita connection, Marcel Berger was able to provide a classification, which identifies 7 possible groups, and it is known to date that all 7 are feasible from irreducible and nonsymmetric Riemannian manifolds. The theorem is presented with a sketch of its proof and connections are seen with the presence of complex structures on the manifold, which consequently acquires Kahler or Hyperkahler properties.