Equazioni ellittiche quasilineari e applicazioni agli elettrolizzatori a membrana a scambio anionico

Abstract

Questa tesi studia le equazioni alle derivate parziali ellittiche e la loro applicazione nella modellizzazione multifisica di una cella elettrolitica a membrana a scambio anionico (AEM). Questa tecnologia rappresenta una soluzione emergente e particolarmente promettente per la produzione sostenibile di idrogeno verde.

Il lavoro è strutturato in quattro capitoli. Il primo tratta i concetti di derivata debole e spazi di Sobolev, strumenti tecnici come l'operatore di traccia, e teoremi fondamentali come quello di Lax-Milgram e il teorema di punto fisso di Leray-Schauder.

Il secondo capitolo analizza in modo rigoroso i classici problemi al contorno di Dirichlet e Neumann per operatori uniformemente ellittici, procedendo dal caso lineare a quello quasi-lineare.

Il terzo capitolo deriva il modello multifisico della cella AEM a partire dalle equazioni di Maxwell e dalla legge di Fick. Il sistema accoppia in modo non lineare la distribuzione della temperatura, delle concentrazioni chimiche e del potenziale elettrico interno. Applicando la teoria analitica precedentemente esposta, ne viene dimostrata matematicamente la buona posizione e l'esistenza delle soluzioni deboli.

Infine, il quarto capitolo presenta le simulazioni numeriche bidimensionali del trasporto di materia e calore, basate sul metodo alle differenze finite (FDM). L'implementazione ha richiesto lo sviluppo di un apposito algoritmo iterativo per gestire la nonlinearità del sistema.

I risultati confermano l'ottima stabilità computazionale dell'algoritmo, ma l'analisi parametrica fa emergere i limiti fisici della formulazione puramente conduttiva: l'assenza di un termine di convezione termica porta il sistema a registrare surriscaldamenti irrealistici dovuti all'effetto Joule, dimostrando la necessità di espandere il modello differenziale per simulare fedelmente il reale comportamento termico dei reattori.

This thesis investigates elliptic partial differential equations and their application to the multiphysics modeling of an anion exchange membrane (AEM) electrolytic cell. This technology represents an emerging and particularly promising solution for the sustainable production of green hydrogen.

The work is structured into four chapters. The first covers concepts such as weak derivatives and Sobolev spaces, technical tools like the trace operator, and fundamental theorems including the Lax-Milgram theorem and the Leray-Schauder fixed-point theorem.

The second chapter provides a rigorous analysis of classical Dirichlet and Neumann boundary value problems for uniformly elliptic operators, progressing from the linear case to the quasilinear case.

The third chapter derives the multiphysics model of the AEM cell based on Maxwell's equations and Fick's law. The system nonlinearly couples the distributions of temperature, chemical concentrations, and internal electric potential. By applying the previously outlined analytical theory, the well-posedness of the problem and the existence of weak solutions are mathematically demonstrated.

Finally, the fourth chapter presents two-dimensional numerical simulations of mass and heat transport, based on the finite difference method (FDM). The implementation required the development of a dedicated iterative algorithm to handle the system's nonlinearity.

The results confirm the algorithm's excellent computational stability; however, the parametric analysis reveals the physical limitations of the purely conductive formulation. The absence of a thermal convection term leads to unrealistic overheating caused by the Joule effect, demonstrating the need to expand the differential model to accurately simulate the actual thermal behavior of the reactors.