I Modelli di Heston e Bates: Teoria, Calibrazione e Schemi Numerici per la Valutazione di Opzioni Esotiche.

Abstract

Questa tesi analizza i fondamenti teorici e le performance empiriche dei modelli di asset pricing in regime di volatilità stocastica e processi di diffusione con salti (jump-diffusion). Spinto dalla nota inadeguatezza del modello classico di Black-Scholes nel catturare le proprietà empiriche del mercato (come lo skew di volatilità sulle scadenze brevi e le code pesanti (heavy-tailed) nella distribuzione dei rendimenti) questo lavoro esamina i modelli di Heston e di Bates.

Il lavoro parte dalla definizione dei fondamenti teorici della finanza matematica, per poi passare all'analisi dei modelli di Heston e Bates e alle rispettive implicazioni sulla completezza del mercato. Nello specifico, si analizza come l'incompletezza strutturale del modello di Heston possa essere risolta attraverso una replica Delta-Vega basata su opzioni e, di contro, perché la natura a dimensione infinita dei salti continui renda il modello di Bates intrinsecamente incompleto. Inoltre, vengono implementati schemi di discretizzazione numerica avanzati (tra cui Euler-Maruyama, Milstein e Zhu), calibrati sui dati di mercato per valutare l'accuratezza dei modelli nel pricing di prodotti strutturati complessi, come i Principal Protected Notes di tipo Auto-callable con effetto memoria.

I risultati empirici dimostrano che, sebbene entrambi i modelli migliorino significativamente la fedeltà di replica delle proprietà di mercato rispetto al classico modello di Black-Scholes, l'integrazione di un processo di salto di Poisson nel modello di Bates permette di modellare accuratamente la superficie di volatilità implicita a breve termine.

This thesis investigates the theoretical foundations and the empirical performance of asset pricing models under stochastic volatility and jump-diffusion regimes. Driven by the well-known failure of the classical Black-Scholes framework to capture market empirical properties, such as the short-maturity volatility skew and heavy-tailed return distributions, this work examines the Heston and Bates models.

The thesis begins by establishing the theoretical foundations of mathematical finance, subsequently transitioning to an analysis of the Heston and Bates models and their respective implications for market completeness. Specifically, it is analyzed how Heston’s structural incompleteness can be resolved through option-based Delta-Vega replication, and conversely, why the infinite-dimensional nature of continuous jumps renders the Bates model inherently incomplete. Furthermore, advanced numerical discretization schemes (e.g., Euler-Maruyama, Milstein, and Zhu) are implemented and calibrated against market data to evaluate the accuracy of the models in pricing complex structured products, such as auto-callable principal protected note with memory effect.

The empirical results demonstrate that while both frameworks significantly enhance the replication of market empirical properties compared to the classical Black-Scholes model, the integration of a Poisson jump process in the Bates model accurately models the short-term implied volatility surface.