Dalle rappresentazioni Galoisiane alle forme modulari, studio e analisi della congettura di modularità di Serre.

Abstract

La tesi approfondisce la congettura di modularità di Serre, la quale associa a una rappresentazione di Galois irriducibile e dispari un'autoforma cuspidale. Il contenuto dell'elaborato è diviso in tre capitoli. Il primo contiene nozioni relative sia alla teoria delle rappresentazioni di gruppi finiti, in particolare rappresentazioni di Galois, sia alla teoria delle forme modulari e degli operatori di Hecke. Sempre nello stesso capitolo viene enunciato e dimostrato il teorema di Deligne, riguardante la costruzione di rappresentazioni di Galois su autoforme cuspidali nel caso di campi di caratteristica finita. Nel secondo capitolo sono definiti gli invarianti di Serre, peso e livello, per una rappresentazione di Galois. Di seguito viene enunciata la congettura nelle sue varianti e sviluppato lo studio sull'ottimizzazione del peso e del livello. Infine si tratta l'applicazione della congettura di Serre al caso di curve ellittiche semistabili e si spiega come grazie a questo studio sia possibile stabilire un legame tra la suddetta congettura e la dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat. Nell'ultimo capitolo viene brevemente delineata l'idea della dimostrazione della congettura, ossia il teorema di Khare-Wintenberger. Nella prima parte vengono enunciati i risultati relativi, mentre nella seconda questi sono utilizzati per la dimostrazione.

This thesis explores Serre’s modularity conjecture, which associates an irreducible, odd Galois representation with a cuspidal eigenform. The work is structured into three chapters. The first chapter introduces fundamental concepts regarding the representation theory of finite groups, specifically Galois representations, as well as the theory of modular forms and Hecke operators. This chapter also presents and proves Deligne's theorem concerning the construction of Galois representations associated with cuspidal eigenforms in the case of fields of finite characteristic. The second chapter defines Serre's invariants, weight and level, for a Galois representation. Subsequently, the conjecture is stated in its various forms, followed by a study on the optimization of the weight and level. Finally, the application of Serre’s conjecture to the case of semistable elliptic curves is discussed, explaining how this study establishes a link between the conjecture and the proof of Fermat's Last Theorem. The final chapter outlines the core ideas behind the proof of the conjecture, namely the Khare-Wintenberger theorem. The first part presents the relevant preliminary results, while the second part demonstrates how these are applied to achieve the final proof.