Teorema di Kunz e deformazione dell'F-iniettività

Abstract

Questa tesi è parte della teoria degli anelli commutativi unitari di caratteristica prima. In algebra commutativa una delle proprietà più studiate di un anello è la regolarità. Dal punto di vista geometrico, la regolarità è fortemente legata alla liscezza. Nel contesto di anelli di caratteristica prima, un risultato centrale per problemi di singolarità è il Teorema di Kunz: un anello è regolare se e solo se la mappa di Frobenius è piatta. La naturale evoluzione di questo risultato è la teoria delle F-singolarità: l’idea di fondo è costruire nuove classi di singolarità indebolendo l’ipotesi di piattezza. Una delle F-singolarità è l’F-iniettività. Un anello locale si dice F-iniettivo se sono iniettive tutte le mappe indotte dal morfismo di Frobenius sui moduli in coomologia locale supportati sull’ideale massimale. Si dice che una proprietà di un anello locale (R,m) deforma se, per un certo elemento regolare x, il fatto che R/(x) soddisfi tale proprietà implica che anche R la soddisfa. La deformazione dell’F-iniettività è tutt’ora un problema aperto. Tuttavia è noto che l’F-iniettività deforma in alcune classi di anelli, come gli anelli Cohen Macaulay, F-full o F-split. In questa tesi viene presentata una dimostrazione del teorema di Kunz, viene introdotta la teoria delle F-singolarità. Successivamente si definisce l’F-iniettività e si mostra che nei casi sopra citati essa deforma.

This thesis is about commutative unitarian rings of prime characteristic. In commutative ring theory, one of the strongest properties of a ring is regularity. From a geometric point of view, regularity is strictly connected to smoothness. In the context of prime characteristic rings, the starting point of many results concerning the singularities of a ring is Kunz’s Theorem: a ring is regular if and only if the Frobenius map is flat. The natural evolution of the work of Ernst Kunz is the F-singularities theory: the idea behind this theory is to obtain new classes of singularities by weakening the assumption that the Frobenius map is flat. One of the F-singularities is the F-injectivity: a local ring is F-injective if the induced maps by the Frobenius map over the local cohomology modules supported at the maximal ideal are all injective. A property of a local ring (R,m) is said to deform if, for some regular element x, the fact that R/(x) satisfies the property implies that R satisfies the property. The deformation of F-injectivity is still an open problem, but it is known in some classes of rings, as Cohen Macaulay, F-full, F-split rings. In this thesis we give a proof of Kunz’s Theorem and we introduce the theory of F-singularities. We also define F-injectivity and show that it deforms in the cases mentioned above.