Introduzione alla teoria dei motivi e la congettura di Mumford-Tate

Abstract

La tesi si occupa di introdurre la teoria dei motivi puri e la congettura di Mumford-Tate per varietà proiettive lisce definite su campi di numeri. La teoria dei motivi puri viene introdotta dopo aver sviluppato concetti di base di teoria dell’intersezione, definendo anche le coomologie di Weil, mostrando le proprietà delle categorie di motivi puri rispetto a una relazione di equivalenza adeguata e, infine, vengono mostrati alcuni esempi. Successivamente vengono mostrati due esempi di coomologie di Weil: la coomologia singolare (di Betti) a coefficienti razionali e la coomologia l-adica (dove l è un numero primo). Vengono anche enunciate le congetture di Hodge e di Tate e studiati alcuni casi noti in cui sono risolte. Nell’ultima parte, viene enunciata la congettura di Mumford-Tate classica per varietà e poi viene enunciata la sua generalizzazione a motivi di André, introdotti come estensione dei motivi puri, chiamata congettura di Mumford-Tate motivica. Vengono infine studiate alcune relazioni tra la congettura di Mumford-Tate motivica e quella classica e sono enunciati alcuni casi noti in cui sono dimostrate.

This thesis focuses on introducing the theory of pure motives and the Mumford-Tate conjecture for smooth projective varieties defined over number fields. The theory of pure motives is introduced after developing the basic concepts about intersection theory, also introducing the definition of Weil cohomology, showing the properties of categories of pure motives with respect to an adequate equivalence relation. Then two Weil cohomologies are introduced: singular (Betti) cohomology with rational coefficients and l-adic cohomology (where l is a prime number). Hodge and Tate conjectures are also introduced and some basic cases where are proven to be true are studied. In the last part, the classic Mumford-Tate conjecture for varieties is stated, and then it is generalized to André’s motives, introduced as an extension of pure motives, called motivic Mumford-Tate conjecture. Finally, some relations between motivic Mumford-Tate conjecture and classical Mumford-Tate conjecture are studied and some cases where they are proven to be true are stated.