Teoria di Kato sulle potenze frazionarie

Abstract

Lo scopo della tesi è discutere le proprietà delle potenze frazionarie degli operatori ellittici in forma divergenza con condizioni al bordo di tipo Dirichlet su sottoinsiemi aperti di R^d.

Un operatore in forma divergenza L=−div(A∇·) è definito come l'operatore associato ad una particolare forma sesquilineare che agisce su uno spazio di Sobolev a traccia nulla, e per questo motivo il Capitolo 3 è dedicato allo studio delle forme sesquilineari e dei loro operatori associati. Prima di ciò, il primo capitolo riguarda la classica teoria dei semigruppi, dove viene introdotto il concetto di generatore infinitesimale. I "teoremi di generazione", come i teoremi di Hille-Yosida e di Lumer-Phillips, forniscono condizioni necessarie e sufficienti affinché un operatore generi una specifica tipologia di semigruppo (contrattivo, analitico...). Seguendo l'idea di definire l'esponenziale di un operatore, viene introdotto il calcolo funzionale per operatori settoriali, che occupa la maggior parte della tesi. Lo scopo principale del calcolo funzionale in questa trattazione è quello di definire le potenze frazionarie degli operatori settoriali, che a loro volta forniscono una naturale definizione per gli spazi di Sobolev di ordine frazionario. Nell'ultimo capitolo viene enunciata la congettura di Kato nella sua massima generalità, e questa viene dimostrata in un paio di casi particolari (per il laplaciano negativo su R^d e per operatori autoaggiunti su aperti arbitrari Ω di R^d). Questo capitolo include anche un teorema di Kato, recentemente ridimostrato dal mio relatore di tesi Carbonaro e da Dragičević, che mostra che per le potenze sub-critiche 0<β<1/2 il dominio di L^β non dipende da A. Questa nuova dimostrazione si basa sulla profonda connessione studiata da McIntosh tra la limitatezza del calcolo funzionale H^∞ e la realizzazione di stime quadratiche. Infine, viene mostrato che la scelta di coefficienti altamente oscillanti di A conduce a controesempi patologici per 1/2<β<1.

The aim of the thesis is to discuss the properties of fractional powers of elliptic operators in divergence form with Dirichlet boundary conditions on an open subset of the Euclidean space.

An operator in divergence form L=−div(A∇·) is defined to be the operator associated with a particular sesquilinear form that acts on a zero-trace Sobolev space, and for this reason Chapter 3 is devoted to the study of sesquilinear forms and their associated operators. Before that, the first chapter deals with the classic theory of semigroups, where the concept of infinitesimal generator is first introduced. The “generation theorems”, like the Hille-Yosida theorem and the Lumer-Phillips theorem, give necessary and sufficient conditions to the properties of an operator in order for it to generate a specific kind of semigroup (contractive, analytic...). Pursuing the idea of defining the exponential of an operator, one is introduced to the functional calculus for sectorial operators, which concerns the majority of the thesis. The main purpose for the functional calculus in this dissertation is the definition of fractional powers of sectorial operators, which in turn yields a natural definition for Sobolev spaces of fractional order. In the final chapter, the Kato conjecture in his maximal generality is stated and a proof for a couple of particular cases is provided (for the negative Laplacian on R^d and for self-adjoint operators on an arbitrary open subset Ω of R^d). This chapter also displays a theorem from Kato, recently reproved by my Master’s thesis supervisor Carbonaro and Dragičević, which shows that for the subcritical fractional powers 0<β<1/2 the domain of L^β does not depend on the matrix A defining L. This new proof relies on the deep connection between the boundedness of the H^∞-functional calculus and the satisfaction of quadratic estimates studied by McIntosh. Finally, it’s shown that wildly oscillating coefficients of A yield pathological counterexamples for 1/2<β<1.