Rappresentazioni di Quiver

Abstract

Questa tesi esplora la teoria delle rappresentazioni di quiver, concentrandosi sullo studio dei moduli su algebre di cammini e sull'analisi sistematica delle loro rappresentazioni lineari. Il lavoro approfondisce sia gli aspetti strutturali e classificatori, sia le connessioni geometriche e combinatorie, arrivando a toccare i recenti sviluppi nella teoria delle rappresentazioni stabili.

L'elaborato è strutturato in tre capitoli. Il primo introduce i concetti fondamentali, partendo dall'analisi dei quiver e delle loro operazioni, e definendo le algebre dei cammini. Vengono richiamati il Teorema di Krull-Remak-Schmidt e il K-gruppo per la classificazione, insieme alla forma di Euler per il calcolo delle dimensioni degli spazi di omomorfismi. Si esamina inoltre la caratterizzazione dei grafi di Dynkin ed euclidei e il loro legame con il reticolo di radici e il gruppo di Weyl.

Il secondo capitolo è dedicato al Teorema di Gabriel, punto cruciale della teoria. Questo teorema stabilisce una sorprendente connessione tra la finitezza delle classi di isomorfismo di rappresentazioni indecomponibili di un quiver e la natura di grafo di Dynkin del suo sottostante grafo non orientato. La dimostrazione include le proprietà specifiche dei quiver di tipo finito e dei quiver di Dynkin, e il ruolo dei funtori di riflessione.

Infine, il terzo capitolo esplora la teoria delle rappresentazioni stabili, un'estensione che introduce concetti come camere e celle e funzioni MA sullo spazio dei parametri di stabilità. Viene dimostrato che le classi di stabilità delle rappresentazioni di quiver possono essere espresse come unioni finite di coni poliedrali razionali.

Complessivamente, questa tesi offre una visione organica e moderna della teoria delle rappresentazioni di quiver, collegando risultati classici come il Teorema di Gabriel a sviluppi più recenti e geometricamente ispirati.

Introduction to the Theory of Quiver Representations This thesis explores the theory of quiver representations, focusing on the study of modules over path algebras and the systematic analysis of their linear representations. The work delves into both structural and classificatory aspects, as well as geometric and combinatorial connections, extending to recent developments in the theory of stable representations.

The thesis is structured into three main chapters. The first introduces essential preliminary concepts, starting with an analysis of quivers and their operations, and defining path algebras. The Krull-Remak-Schmidt Theorem and the K-group are revisited for classification purposes, alongside the Euler form for calculating the dimensions of homomorphism spaces. The characterization of Dynkin and Euclidean graphs and their connection to root lattices and Weyl groups are also examined.

The second chapter is dedicated to Gabriel's Theorem, a cornerstone of the theory. This theorem establishes a surprising link between the finiteness of isomorphism classes of indecomposable representations of a quiver and the fact that its underlying undirected graph is a Dynkin graph. The proof includes specific properties of finite type quivers and Dynkin quivers, as well as the role of reflection functors.

Finally, the third chapter explores the theory of stable representations, an extension that introduces concepts such as chambers and cells, and MA functions on the stability parameter space. It is demonstrated that stability classes of quiver representations can be expressed as finite unions of rational polyhedral cones.

Overall, this thesis offers an organic and modern perspective on the theory of quiver representations, connecting classic results like Gabriel's Theorem to more recent and geometrically inspired developments.