Limite incompressibile per un modello di crescita tumorale

Abstract

Il cancro rappresenta la seconda causa di mortalità a livello globale, subito dopo le malattie cardiovascolari. Ciò che caratterizza questa patologia è la proliferazione incontrollata di cellule maligne, le quali presentano una velocità di replicazione superiore rispetto alle cellule normali e sono in grado di eludere i meccanismi di apoptosi. Un piccolo tumore solido di 1 millimetro di diametro contiene circa un milione di cellule tumorali. Durante la crescita, le cellule tumorali comprimono il tessuto circostante e le cellule al centro della massa tumorale iniziano a soffrire la mancanza di nutrienti fondamentali come ossigeno e glucosio. Questo fenomeno porta alla morte cellulare incontrollata, fenomeno noto come necrosi, che a sua volta innesca il processo di angiogenesi, cioè la formazione di nuovi vasi sanguigni. A causa della complessità del processo oncogenico, lo sviluppo di modelli matematici e di cruciale importanza per comprendere e analizzare i meccanismi che governano la crescita tumorale. Solitamente, la modellizzazione matematica del tumore si concentra su una specifica fase del processo di sviluppo: crescita avascolare, angiogenesi o crescita vascolare e metastatizzazione. In questo elaborato, verranno discussi modelli che si focalizzano sulla fase avascolare della crescita tumorale. In particolare, verranno presentati i due principali approcci matematici utilizzati per descrivere il fenomeno: i modelli basati sulla densità della popolazione cellulare e i problemi a frontiera libera. I primi utilizzano equazioni differenziali di tipo diffusione-trasporto per descrivere l’evoluzione della densità cellulare, mentre i secondi descrivono il movimento geometrico del tumore, con la sua superficie rappresentata da una frontiera libera. Un legame tra questi due approcci puo essere ottenuto attraverso l’analisi asintotica (The Hele–Shaw Asymptotics for Mechanical Models of Tumor Growth (2014) B. Perthame, F. Quiros, J.L. Vazquez)

Cancer represents the second leading cause of mortality worldwide, right after cardiovascular diseases. What characterizes this pathology is the uncontrolled proliferation of malignant cells, which exhibit a replication rate higher than normal cells and are capable of evading apoptosis mechanisms. A small solid tumor of 1 millimeter in diameter contains about one million cancer cells. During growth, cancer cells compress the surrounding tissue, and the cells at the center of the tumor mass begin to suffer from a lack of essential nutrients such as oxygen and glucose. This phenomenon leads to uncontrolled cell death, known as necrosis, which in turn triggers the process of angiogenesis, i.e., the formation of new blood vessels.

Due to the complexity of the oncogenic process, the development of mathematical models is crucial for understanding and analyzing the mechanisms that govern tumor growth. Typically, mathematical modeling of cancer focuses on a specific phase of the development process: avascular growth, angiogenesis, or vascular growth and metastasis.

In this work, models focusing on the avascular phase of tumor growth will be discussed. In particular, the two main mathematical approaches used to describe the phenomenon will be presented: cell population density-based models and free boundary problems. The former uses diffusion-transport type differential equations to describe the evolution of cell density, while the latter describes the geometric movement of the tumor, with its surface represented by a free boundary. A connection between these two approaches can be obtained through asymptotic analysis (The Hele–Shaw Asymptotics for Mechanical Models of Tumor Growth (2014) B. Perthame, F. Quiros, J.L. Vazquez).