Verso una definizione di correlazione topologica: misurare la differenza tra omologia persistente multiparametrica e monoparametrica

Abstract

La mia Tesi di Laurea Magistrale costituisce un primo passo nel tentativo di comprendere - sia da un punto di vista intuitivo che teorico - il motivo per cui la persistenza multiparametrica presenti una maggior capacità discriminante rispetto alla persistenza monoparametrica, e come tale differenza permetta di carpire informazioni sulla dipendenza reciproca tra le funzioni che originano la persistenza. Lo scopo ultimo è proprio quello di convogliare le informazioni ricavate in modo da definire un concetto di "correlazione topologica" tra due funzioni. L'efficacia di questa idea è supportata dal fatto che, in svariate situazioni di studio, si osserva che maggiore è il "legame" tra due funzioni filtranti considerate e minore è l'informazione aggiuntiva che la persistenza multiparametrica fornisce rispetto a quella monoparametrica. Più in dettaglio, nella mia Tesi individuo due problemi: da un lato metto in luce l'evidenza di una differenza tra la capacità discriminante dell'omologia persistente monoparametrica e di quella multiparametrica, di cui non esistono ancora spiegazioni teoriche in letteratura; dall'altro formalizzo l'esigenza di definire un concetto di correlazione tra funzioni che sia il più generale possibile. Come soluzioni a tali problemi propongo due nuove definizioni, tra loro connesse: la differenza topologica e la correlazione topologica. Le dimostrazioni di alcune loro proprietà elementari e il loro utilizzo in svariati esempi consentono di validare i concetti introdotti e di discuterne l’uso in contesti applicativi, delinenando anche possibili sviluppi e scenari futuri.

My Master's Thesis constitutes a first step in the attempt to understand - both from an intuitive and theoretical point of view - why multi-parameter persistence has a greater discriminative capacity than single-parameter persistence, and how this difference allows one to extract information on the mutual dependence between the functions that originate persistence. The ultimate aim is precisely to channel the information obtained in such a way as to define a concept of "topological correlation" between two functions. The efficacy of this idea is supported by the fact that, in a variety of study situations, it is observed that the greater the "ink" between two filter functions considered, the less additional information a multi-parameter persistence provides with respect to a single-parameter one. More in detail, in my Thesis I identify two problems: on the one hand I highlight the evidence of a difference between the discriminating capacity of monoparametric and multi-parametric persistent homology, for which no theoretical explanation exists yet in the literature; on the other hand I formalise the need to define a concept of correlation between functions that is as general as possible. As solutions to these problems I propose two new, interrelated definitions: topological difference and topological correlation. Demonstrations of some of their elementary properties and their use in various examples allow the validation of the introduced concepts and to discuss their use in application contexts, also outlining possible future developments and scenarios.