Discussioni sull'estendibilità della misura di Lebesgue all' insieme delle parti

Abstract

In questo lavoro di tesi rispondiamo ad alcune domande sull’estendibilità della misura di Lebesgue all’insieme delle parti, in particolare mostreremo che: non esiste una misura definita sull’insieme delle parti che estende la misura di Lebesgue e che sia invariante per traslazioni e, con l’ipotesi del continuo, non esiste una tale estensione nemmeno rinunciando all'invarianza per traslazioni. Mostreremo poi l’esistenza di funzioni d’insieme additive che estendono la misura di Lebesgue all’insieme delle parti della retta e del piano reali, mantenendo l’invarianza per isometrie. Mostreremo anche l’esistenza di estensioni all’insieme delle parti degli spazi reali di dimensione più alta che però non mantengono l’invarianza su tutte le isometrie. Infine discuteremo la non massimalità di tutte le estensioni della misura di Lebesgue con dominio strettamente contenuto nell’insieme delle parti, e mostreremo l’esistenza di estensioni perfette della misura di Lebesgue sul piano reale (ovvero di estensioni proprie che mantengono l'invarianza della misura per isometrie).

In this work we answer some questions about the extensibility of the Lebesgue measure to the power set, in particular we’ll show that: there is not a measure defined on the power set that extends the Lebesgue measure preserving the translation invariance property and, assuming the continuum hypothesis, there is no such extension even without preserving the translation invariance property. We’ll show the existence of additive set functions that extend the Lebesgue measure to the power set of the real line and the real plane, preserving the isometric invariance property. We’ll also show the existence of extensions to the power set of real spaces with bigger dimension, wich however do not preserve the invariance on every isometric function. At last we’ll discuss the non maximality of every possible extension of the Lebesgue measure with domain strictly contained in the power set, and we’ll show the existence of perfect extensions of the Lebesgue measure on the real plane (that is, proper extensions that preserve the invariance on every isometric function).