I politopi

Abstract

Nel primo capitolo tratteremo i casi più semplici e importanti di figure geometriche di dimensione superiore, esaminando le loro caratteristiche fondamentali e le relazioni che intercorrono tra di esse. Nel secondo capitolo definiremo il concetto di n-politopo e della proprietà di regolarità che ci permetterà di dare una formula generale, tramite il procedimento di suddivisione simpliciale, per determinare il numero degli elementi di un politopo regolare. Nel terzo capitolo verrà introdotto e presentato il criterio di Schläfli, allo scopo di fornire una classificazione delle figure regolari, terminando con un teorema che enumera tutti i 6 4-politopi regolari convessi. Infine, l’ultimo capitolo ripercorre, in una prima parte, le origini storiche dei poliedri a partire dagli Elementi di Euclide concludendo con gli Harmonices mundi libri V di Kepler, con particolare riguardo ai poliedri unilateri introdotti da Möbius. E, in una seconda parte, le origini storico-letterarie dei politopi in territorio tedesco e inglese. Citeremo Schläfli, le cui idee costituiscono la base di questa tesi, e Stringham; per poi passare a Hinton e a sua cognata Alicia Boole. Concluderemo questo percorso storico menzionando brevemente il significativo rapporto tra la Boole e Coxeter, quest’ultimo autore dell’opera Regular Polytopes, ormai considerata un classico sull’argomento dei politopi, e principale opera di riferimento per la stesura di questa tesi.

n the first chapter we will cover the most simple and important cases of geometric figures of a greater dimension, examining their fundamental characteristics and relations between them. In the second chapter we will define the concept of n-polytope and property of regularity which will allow us to give a general formula, through the process of simplicial subdivision, to determine the number of elements of a polytope regular. The Schläfli criterion will be introduced and presented in the third chapter in order to provide a classification of regular figures, ending with a theorem enumerating all 6 4-regular convex polytopes. Finally, the last chapter traces, in a first part, the historical origins of the polyhedra starting from the Elements of Euclid concluding with the Harmonices mundi V books of Kepler, with particular regard to the unilateral polyhedra introduced by Möbius. And, in a second part, the historical-literary origins of the polytopes in the territory German and English. We will quote Schläfli, whose ideas form the basis of this thesis, and Stringham; for then move on to Hinton and his sister-in-law Alicia Boole. We will conclude this historical journey by briefly mentioning the significant relationship between Boole and Coxeter, the latter author of the work Regular Polytopes, by now considered a classic on the subject of polytopes, and main reference work for the writing of this thesis.