Introduzione alle martingale

Abstract

Questa tesi si propone di esplorare in dettaglio il concetto di martingala, esaminandone le proprietà, le applicazioni e i teoremi principali. L'elaborato è strutturato in tre capitoli. Nel primo capitolo verranno introdotte le definizioni fondamentali, come quella di martingala, supermartingala e sottomartingala. Inoltre verranno discusse le loro proprietà essenziali. Il secondo capitolo sarà dedicato allo studio dei tempi d'arresto e, in particolare, al teorema d'arresto nel caso discreto. Verranno forniti esempi ed applicazioni per chiarire come questi risultati possano essere utilizzati. Nell'ultimo capitolo si tratterà il teorema del limite centrale per martingale. Verranno pertanto presentate le condizioni sotto le quali una successione di martingale converge in legge a una distribuzione normale standard.

This thesis aims to explore in detail the concept of martingale, examining its properties, applications and main theorems. The paper is structured in three chapters. In the first chapter the fundamental definitions will be introduced, such as martingale, supermartingale and submartingale. Their essential properties will also be discussed. The second chapter will be devoted to the study of stopping times and, in particular, to the stopping theorem in the discrete case. Examples and applications will be provided to clarify how these results can be used. The last chapter deals with the central limit theorem for martingales. Therefore the conditions under which a sequence of martingales converges in distribution to a standard normal distribution will be presented.