Anelli Gorenstein e anelli di Stanley-Reisner

Abstract

I moduli sono degli oggetti fondamentali dell’algebra commutativa, per lo studio di essi è particolarmente rilevante la costruzione di risoluzioni iniettive e proiettive; tali risoluzioni possono avere lunghezza finita o infinita. Dato un modulo su un anello, ci si può chiedere se esso ammetta una risoluzione iniettiva o proiettiva finita: gli oggetti di indagine di questa tesi sono i cosiddetti anelli Gorenstein, i quali sono caratterizzati dal fatto di ammettere una risoluzione iniettiva finita come moduli su se stessi. I moduli iniettivi sono piuttosto complicati e, a maggior ragione, scrivere delle risoluzioni iniettive di un modulo non è per nulla facile. Per questo motivo, ci si occupa per prima cosa di fornire un teorema di caratterizzazione per gli anelli Gorenstein, dopodiché si dimostra che tale classe di anelli si va ad inserire tra altre due classi note: gli anelli regolari e Cohen-Macaulay. Vengono poi introdotti gli anelli di Stanley-Reisner, i quali si ottengono quozientando la K-algebra di polinomi in n variabili con un ideale monomiale squarefree. La loro peculiarità sta nel fatto che esiste una corrispondenza biunivoca tra essi e i complessi simpliciali su [n] : sfruttando tale bigezione, si riescono a caratterizzare alcune proprietà algebriche (ad esempio la proprietà Gorenstein) di un anello tramite le proprietà topologiche del complesso simpliciale ad esso associato; tutto ciò permette, tra le altre cose, di provare il fatto che l’anello di Stanley-Reisner di una sfera è Gorenstein. In ultima istanza, si studiano le serie di Hilbert delle K-algebre graduate standard, in particolare il rapporto tra la proprietà Gorenstein e la simmetria e l’unimodalità dell’h-vettore.

Modules are fundamental objects in commutative algebra, to study them the construction of injective and projective resolutions is especially relevant; such resolutions can be either finite or infinite. Given a module over a ring, one can ask if it can have finite injective or projective resolution: this thesis investigates about Gorenstein rings, which are the rings that have a finite injective resolution as modules over theirselves. Injective modules are pretty complicated and so it's not easy to build injective resolutions. For this reason, first of all we provide a characterization theorem for Gorenstein rings, then we prove that these rings are in the middle between regular and Cohen-Macaulay rings. Then we introduce Stanley-Reisner rings, which are K-algebra of polynomial quotiented out by a monomial squarefree ideal. Their peculiarity is that there is a one-to-one corrispondece between them and simplicial complexes on [n]: with this correspondence, we can characterize some algebraic properties (for exemple the Gorenstein property) of a ring knowing the topological properties of the simplicial complex associated with it; this allow us to prove, among other things, that the Stanley-Reisner ring of a sphere is Gorenstein. Ultimately, we study Hilbert series of standard graduated K-algebras, especially the relationship between the Gorenstein property and the symmetry and the unimodality of the h-vector.