Rasterizzazione di linee su griglia esagonale.

Abstract

Fin dagli albori della grafica digitale uno dei piu' grandi problemi che gli scienziati si sono trovati a dover affrontare e' la distinzione tra la struttura di uno schermo, formato da un insieme discreto di punti, e il modello che descrive il mondo reale che invece è continuo. Verso l' inizio degli anni '60 alcuni matematici portarono alla luce il fatto che il miglior modo di posizionare i punti sul piano e' quello in cui tali punti sono al centro di esagoni regolari disposti a formare una partizione del piano. Ancora oggi pero' si continua ad utilizzare un sistema basato sulla griglia quadrata principalmente a causa di limitazioni nella produzione di schermi a base esagonale. Le due soluzioni, tuttavia, presentano delle similarita' dal punto di vista matematico perche' entrambe le griglie discendono dallo stesso modello di base; ne consegue che non è necessariamente piu' facile lavorare con griglie quadrate. Inoltre, tramite la simulazione dei pixel esagonali su griglia quadrata, si puo' mostrare che la nuova teoria e' effettivamente implementabile, produce immagini con miglior risoluzione e rappresenta quindi una valida alternativa a quella corrente. Nel documento saranno presentate innanzitutto la definizione di griglia e di schema di digitalizzazione. Successivamente verra' enunciato il Teorema di Rosenfeld e illustrato l'Algoritmo di Bresenham per la digitalizzazione di rette su griglia quadrata, risultati che verranno estesi nel seguito alla griglia esagonale. Sara' inoltre descitto l'algoritmo sviluppato da Manoharan e Ray per la griglia esagonale. Verra' infine proposta una simulazione dei pixel esagonali su griglia quadrata e l'idea per creare un sistema interattivo in Java che permetta di disegnare linee con i pixel simulati.

Since the dawn of digital graphics, one of the greatest challenges scientists have faced is distinguishing between the structure of a screen, made up of a discrete set of points, and the model describing the continuous real world.

In the early 1960s, some mathematicians revealed that the best way to position points on a plane is to place them at the center of regular hexagons arranged to partition the plane. However, even today, a system based on a square grid continues to be used mainly due to limitations in the production of hexagonal-based screens.

Nevertheless, both solutions share similarities from a mathematical perspective because both grids descend from the same basic model. Consequently, it is not necessarily easier to work with square grids. Additionally, by simulating hexagonal pixels on a square grid, it can be shown that the new theory is indeed implementable, produces images with better resolution, and thus represents a valid alternative to the current one.

The document will first present the definitions of grid and digitization scheme. Subsequently, Rosenfeld's Theorem will be presented, and Bresenham's Algorithm for digitizing lines on a square grid will be illustrated. this results will later be extended to the hexagonal grid. Furthermore, the algorithm developed by Manoharan and Ray for the hexagonal grid will be described. Finally, a simulation of hexagonal pixels on a square grid will be proposed, along with the idea of creating an interactive system in Java that allows drawing lines with simulated pixels.