Spazi di Sobolev su spazi metrici di misura

Abstract

In questo lavoro di tesi è presentata una nuova definizione di spazi di Sobolev su spazi metrici di misura. Il primo capitolo è dedicato alla teoria classica degli spazi di Sobolev su intervalli reali, i risulatti in questa sezione in alcuni casi serviranno da ispirazione per motivare l’approccio seguito nel caso generale. L’idea è di generalizzare la definizione classica che utilizza l’integrazione per parti tramite le derivazioni. Dopo aver introdotto lo spazio delle funzioni misurabili su uno spazio metrico di misura, nel secondo capitolo viene introdotta la teoria degli L^0-moduli L^0-normati, che con la loro nozione di dualità sono la struttura giusta con cui parlare di derivazioni, ovvero gli oggetti candidati ad essere sezioni del fibrato tangente. Lo spazio delle derivazioni sarà chiamato modulo tangente. Introdurremo una nozione di divergenza per derivazioni con la quale definiremo gli spazi di Sobolev. Per dualità generalizzeremo le nozioni di 1-forme, ovvero le sezioni del fibrato cotangente. Nell’ultimo capitolo concluderemo analizzando brevemente altri approcci presenti in letteratura e vedremo che in realtà le definizioni sono equivalenti.

In this thesis a new definition for Sobolev spaces over metric measure spaces is presented. The first chapter is dedicated to the theory of classical Sobolev spaces over real intervals, some of the results in this section will give us inspiration and motivate the approach we have in the sequel when dealing with the general case. The idea is to generalize the classical definition which uses integration by parts by introducing Sobolev spaces via derivations. To do this we need to generalize the notion of vector field, divergence and duality. After defining and describing the space of measurable functions over a metric measure space, in chapter 2 we deal with the theory of L^0-normed L^0-modules, which, along with their duality properties, will provide the right context and structure to speak of derivations, i.e. the objects which are our candidates as section of the tangent bundle. By duality we will obtain 1-forms, or sections of the cotangent bundle. In the last chapter we give a brief overview of other approaches found in literature to define Sobolev spaces on metric spaces and show that the definitions are equivalent to the one presented in the thesis.