Wavelets, Shearlets e approssimazione non lineare di segnali

Abstract

Le basi di ondine e i frames di shearlets sono largamente usati nelle applicazioni perché permettono di approssimare efficacemente alcuni tipi di funzioni attraverso vettori sparsi. Ad esempio, se consideriamo una funzione unidimensionale regolare a tratti, si ha che le proprietà multirisoluzionali delle basi di ondine permettono di analizzare il segnale a diverse scale, e di catturare l’informazione della funzione all’interno di poche componenti. Quando analizziamo una funzione bidimensionale, le cui discontinuità sono distribuite lungo una curva, si ha che la ricca struttura geometrica che risiede alla base delle shearlets le rende più adatte per la rappresentazione sparsa di tali funzioni rispetto alle ondine bidimensionali. Per molti scopi, non è solo interessante sapere che certe classi di funzioni possono essere rappresentate attraverso vettori sparsi, ma è anche di grande interesse indagare sulla struttura dell’insieme degli indici corrispondenti alle componenti più grandi. Le proprietà geometriche e di analisi multirisoluzionale proprie di ondine e shearlets, permettono di definire delle relazioni gerarchiche tra coefficienti a scale successive di modo che, se un coefficiente a scala j è rilevante, allora anche il padre a scala j-1 lo è. Tali strutture, in letteratura, sono chiamate alberi, e la corrispondente approssimazione viene chiamata approssimazione ad albero. Nella tesi vengono presentati dei risultati che indagano tali strutture nel caso di una funzione bidimensionale costante a tratti con discontinuità lungo una retta, analizzata attraverso un frame di shearlets.

The bases of wavelets and shearlet frames are widely used in applications because they allow for the efficient approximation of certain types of functions using sparse vectors. For instance, when considering a piecewise regular one-dimensional function, the multiresolution properties of wavelet bases enable signal analysis at different scales, capturing the function's information within a few components. When analyzing a two-dimensional function with discontinuities distributed along a curve, the rich geometric structure underlying shearlets makes them more suitable for the sparse representation of such functions compared to two-dimensional wavelets. For many purposes, it is not only interesting to know that certain classes of functions can be represented using sparse vectors, but it is also of great interest to investigate the structure of the set of indices corresponding to the largest components. The geometric and multiresolution analysis properties inherent to wavelets and shearlets allow for the definition of hierarchical relationships between coefficients at successive scales such that, if a coefficient at scale j is relevant, then its parent at scale j-1 is also relevant. In the literature, such structures are called trees, and the corresponding approximation is referred to as tree approximation. This thesis presents results that explore these structures in the case of a two-dimensional piecewise constant function with discontinuities along a straight line, analyzed using a shearlet frame.