Rivestimenti abeliani di varietà

Abstract

In questo lavoro viene data la definizione di rivestimento abeliano di varietà proiettive lisce definite su un campo algebricamente chiuso k di caratteristica 0. In particolare è precisato il concetto di morfismo finito e di varietà quoziente. Successivamente viene enunciato e dimostrato un teorema che determina, dato un rivestimento abeliano di varietà $\pi:X \to Y$, una decomposizione in fibrati in rette su Y del fascio push--forward del fascio di struttura di X. Per la dimostrazione sono riportati e dimostrati alcuni risultati legati al funtore di immagine diretta superiore, ai fasci piatti di moduli ed alla teoria della rappresentazione di gruppi. Infine viene enunciato un teorema di struttura per i rivestimenti abeliani, che determina equazioni divisoriali associate ad un rivestimento e tali che, data una varietà liscia Y e dei divisori di Weil su Y che soddisfano tali equazioni, permettono di costruire un rivestimento abeliano. Nell'ultima parte del lavoro vengono esplicitate queste equazioni in alcuni esempi e viene fornito un criterio per la costruzione di rivestimenti doppi di superfici lisce.

In this work we give the definition of an abelian cover between algebraic projective varieties defined over an algebraically closed field k of characteristic 0. In particular, we give the definition of a finite morphism and of a quotient variety. The focus then shifts on proving a theorem that determines, given an abelian cover $\pi:X \to Y$, a decomposition in line bundles on Y of the push--forward sheaf of the structure sheaf of X. In order to prove this result, we investigate the properties of the higher direct image functor, of flat sheaves of modules and of the theory of representations of groups. Finally, we show a structure theorem for abelian covers, which gives equations of divisors that are associated to an abelian cover, and provide a method for constructing an abelian cover starting from a smooth variety Y and some Weil divisors on Y that satisfy those equations. In the last section, we calculate these equations for certain cases and we give a criterion for the construction of double covers of smooth surfaces.