Spazio dei moduli delle curve

Abstract

Lo scopo di questa tesi è la presentazione di una costruzione dello spazio dei moduli delle curve di un certo genere dato tramite il metodo di Teichmuller e dedurne alcune proprietà topologiche. Il metodo di Teichmuller consiste nel definire lo spazio dei moduli delle curve come il quoziente dello spazio di Teichmuller di una superficie differenziabile per l'azione del mapping class group di questa superficie. Il metodo di Teichmuller non è l'unico modo per definire lo spazio dei moduli delle curve ma è il primo trovato e pienamente riuscito. Forniremo al lettore tutti gli strumenti necessari per comprendere a fondo questa costruzione. In particolare definiremo lo spazio di Teichmuller di una superficie differenziabile e lo doteremo di una topologia. Saremo quindi in grado di dimostrare che è una varietà topologica e munirlo di una metrica. Dopo di che studieremo il zapping class group di una superficie e dimostreremo che è finitamente generato da particolari mapping class chiamate Dehn twist. Potremmo quindi provare il risultato principale di questo elaborato che afferma che l'azione del mapping class group agisce in maniera propriamente discontinua sullo spazio di Teichmuller. Grazie a questo risultato potremmo definire lo spazio dei moduli delle curve come un orbifold. Da questa definizione e dalle proprietà degli orbifolds saremo in grado di dedurre delle proprietà topologiche dello spazio dei moduli delle curve, per esempio il criterio di compattezza di Mumford.

The aim of this thesis is to present a construction of the moduli space of curves of a given genus using the Teichmuller approach and deduce some of its topological properties. The Teichmuller approach consist in defining the moduli space of curves as the quotient of the Teichmuller space of a differentiable surface by the action of the mapping class group. The Teichmuller approach is not the only way to construct the moduli space of curves but it is the first and fully successful approach to the study of this orbifold. We will give the reader all the necessary preliminaries to understand thoroughly the construction. In particular we will first study the definition of the Teichmuller space of a differentiable surface and construct a topology on it. After that we will be able to prove that it is a topological manifold and endow it with a metric. Later on we will define and study the mapping class group of a surface proving that is finitely generated by some particular mapping classes called Dehn twists. The principal result of this work is the fact that the action of the mapping class group on the Teichmuller space of a differentiable surface is properly discontinuous. We will then be able to define the moduli space of curves as an orbifold. From this definition and the properties of orbifolds we will be able to derive some topological properties of the moduli space of curves, as, for example, the compactness criterion of Mumford.