Catena XY di spin con condizioni al bordo frustrate

Abstract

A partire dalla metà dello scorso secolo, le differenti fasi dei sistemi classici a molti corpi sono state studiate mediante la teoria di Landau, che classifica le fasi della materia in termini del comportamento di parametri d’ordine locali, quantità che sono nulle o finite a seconda della fase del sistema e che ne descrivono le proprietà macroscopiche. In questo contesto, le condizioni al bordo sono ritenute trascurabili nella determinazione delle fasi. Dal punto di vista dei sistemi quantistici, la classificazione deve essere estesa. Ad esempio, le fasi topologicamente ordinate, che non hanno un equivalente classico e nelle quali la violazione di una simmetria è associata a parametri d’ordine differenti, tipicamente non locali e non equivalenti tra loro, sfuggono alla classificazione di Landau. Nel 2020 è stato mostrato che anche le condizioni al bordo possono essere rilevanti quantisticamente nel limite termodinamico: intuitivamente si è portati a pensare che il contributo dei termini di bordo possa essere trascurato quando la dimensione del sistema diverge, tuttavia, recentemente, questa intuizione è stata messa alla prova con esempi concreti di transizioni di fase quantistiche indotte dalle condizioni al bordo. In questa linea di ricerca, ha assunto particolare rilievo lo studio a temperatura nulla dei modelli di spin unidimensionali, invarianti per traslazioni, antiferromagnetici e con condizioni al bordo frustrate (i.e. condizioni al bordo periodiche e numero dispari di siti). Le catene di spin frustrate sono interessanti poiché esibiscono spesso sorprendenti e inaspettati comportamenti, che non si verificano con altri tipi di condizioni al bordo e che hanno origine dall’incompatibilità tra le interazioni locali e la struttura globale del sistema. La presente tesi si pone l’obbiettivo di studiare gli effetti indotti a temperatura nulla dalle condizioni al bordo frustrate su uno dei più semplici (ma non triviali) modelli integrabili: la catena XY.

Starting from the middle of the last century, different phases of many-body classical systems have been investigated by using Landau theory, which classifies phases of matter by studying the behaviour of local order parameters, quantities which are zero or finite depending on the system's phase, and which describe its macroscopic properties. In this field, boundary conditions are considered negligible in view of establishing the phase. From the point of view of quantum systems, the classification has to be extended. For instance, topologically ordered phases, which don't have a classical equivalent and for which a symmetry violation is associated to different order parameters - typically non-local and inequivalent from each other - escape Landau's classification. In 2019 it has been shown that even boundary conditions may be quantistically relevant in the thermodynamic limit: intuitively, one tends to think that the boundary terms contribution might be neglected when the system's dimension diverges. However, recently, this intuition has been challenged by concrete examples of quantum phase transitions induced by boundary conditions. In this research line, a particular importance has been acquired by the study of zero temperature one-dimensional spin models, translationally invariant, antiferromagnetic and with frustrated boundary conditions (i.e. periodic boundary conditions and odd number of sites). Frustrated spin chains are interesting because they often exhibit striking and unexpected behaviours, which don't occur under other kinds of boundary conditions and are originated by the incompatibility between local interactions and the global system's structure. This thesis aims at studying the effects induced at zero temperature by frustrated boundary conditions on one of the simplest (but not trivial) integrable models: the XY chain.