Calcolo stocastico per la finanza

Abstract

Questa tesi introduce gli strumenti del calcolo stocastico necessari per valutare e coprire le opzioni europee in un mercato a tempo continuo. Si parte dal moto browniano, le cui traiettorie hanno variazione quadratica non nulla e quindi variazione totale infinita, per cui non è possibile integrare rispetto al moto browniano nel senso di Riemann–Stieltjes. Per superare questo ostacolo si richiamano filtrazioni, speranza condizionale e martingale e si costruisce l'integrale di Itô, dapprima per i processi semplici e poi, per estensione, negli spazi M² e M²_loc, dove compaiono le martingale locali. Seguono la formula di Itô, con gli esempi del moto browniano geometrico e della supermartingala esponenziale, e il teorema di Girsanov. Formula di Itô e teorema di Girsanov vengono poi estesi al caso multidimensionale insieme al teorema di rappresentazione delle martingale. Con questi strumenti si costruisce un modello di mercato con N titoli rischiosi e d fonti di rischio browniano. Dopo aver definito misure martingala, prezzo di mercato del rischio, portafogli autofinanzianti e ammissibili e arbitraggi, si dimostra che l'esistenza di una misura martingala esclude gli arbitraggi e che in un mercato completo tale misura è unica. Si studiano poi la valutazione e la copertura di un derivato europeo e si dà una condizione sufficiente per la completezza, legata all'invertibilità della matrice di volatilità. L'ultimo capitolo è dedicato al modello di Black–Scholes, di cui si dimostrano l'assenza di arbitraggi e la completezza. Il prezzo della call europea viene ricavato in due modi, come valore atteso sotto la misura neutrale al rischio e risolvendo l'equazione alle derivate parziali associata, che si riconduce all'equazione del calore. Il prezzo della put si ottiene dalla parità put-call. La formula chiusa viene confrontata con una stima Monte Carlo e il lavoro si chiude discutendo i limiti del modello.

This thesis introduces the tools of stochastic calculus needed to price and hedge European options in a continuous-time market. The starting point is Brownian motion, whose paths are shown to have non-zero quadratic variation and hence infinite total variation, so an integral with respect to Brownian motion cannot be defined in the Riemann–Stieltjes sense. To overcome this, filtrations, conditional expectation and martingales are reviewed and the Itô integral is constructed, first for simple processes and then by extension to the spaces M² and M²_loc, where local martingales appear. Itô's formula follows, illustrated by geometric Brownian motion and the exponential supermartingale, together with Girsanov's theorem. Both results are then extended to the multidimensional setting, along with the martingale representation theorem. These tools are used to build a market model with N risky assets and d Brownian sources of risk. After defining martingale measures, the market price of risk, self-financing and admissible portfolios and arbitrage, it is shown that the existence of a martingale measure excludes arbitrage and that in a complete market this measure is unique. The pricing and hedging of a European derivative are then studied, and a sufficient condition for completeness is given in terms of the invertibility of the volatility matrix. The last chapter is devoted to the Black–Scholes model, which is shown to be arbitrage-free and complete. The price of a European call is derived in two ways, as an expected value under the risk-neutral measure and by solving the associated partial differential equation, which reduces to the heat equation. The put price then follows from put-call parity. The closed-form formula is compared with a Monte Carlo estimate, and the thesis ends with a discussion of the limitations of the model.