Una Breve Esposizione di Analisi Visiva

Abstract

Questa tesi presenta un’esposizione geometrica e rigorosa di temi fondamentali del calcolo differenziale, fondata sulla nozione di uguaglianza ultima di Tristan Needham. Essa formalizza l’idea intuitiva di quantità infinitesime mediante rapporti di funzioni che tendono a uno, consentendo di conservare il linguaggio visivo dei piccoli incrementi all’interno dell’analisi standard.

A partire da una dimostrazione geometrica delle derivate di seno e coseno, il lavoro sviluppa le proprietà dell’uguaglianza ultima, le confronta con gli ordini di infinitesimo e ne propone un’estensione vettoriale adatta a descrivere l’approssimazione lineare tangente. Tale strumento viene quindi applicato al calcolo in una variabile: definizione di derivata, teorema del valor medio, regole di derivazione, regola di de l’Hôpital, regola della catena, derivata dell’inversa e seconde derivate. L’esposizione è infine estesa al calcolo multivariabile, ottenendo differenziale, gradiente, teorema di Schwarz e matrice jacobiana attraverso interpretazioni geometriche delle variazioni finite.

L’obiettivo è mostrare come l’uguaglianza ultima possa conciliare intuizione geometrica e rigore formale, offrendo una lettura visiva e operativa di risultati classici dell’analisi.

This thesis presents a geometric yet rigorous exposition of fundamental topics in differential calculus, based on Tristan Needham’s notion of ultimate equality. This notion formalizes the intuitive idea of infinitesimal quantities through ratios of functions tending to one, making it possible to retain the visual language of small variations within standard analysis.

Starting from a geometric proof of the derivatives of sine and cosine, the work develops the properties of ultimate equality, relates it to asymptotic orders, and introduces a vector-valued extension suited to describing tangent linear approximation. The resulting framework is applied to single-variable calculus: the definition of derivative, the mean value theorem, differentiation rules, l’Hôpital’s rule, the chain rule, inverse functions, and second derivatives. The exposition is then extended to multivariable calculus, deriving the differential, gradient, Schwarz’s theorem, and the Jacobian matrix through geometric interpretations of finite variations.

The aim is to show how ultimate equality can reconcile geometric intuition with formal rigor, providing a visual and operational perspective on classical results in analysis.