Cateogorie derivate da categorie modello

Abstract

L'obiettivo di questa tesi è costruire una struttura di modello sulla categoria Ch(C) dei complessi di catene di una categoria di Grothendieck C la cui categoria omotopica sia la categoria derivata D(C). Dopo aver richiamato i risultati necessari sulle categorie abeliane e le categorie di Grothendieck, introduciamo il linguaggio delle categorie modello seguendo Quillen e costruiamo la relativa categoria omotopica tramite i rimpiazzamenti cofibrante e fibrante. Presentiamo poi il teorema di corrispondenza di Hovey, che identifica le strutture di modello abeliane con le triple di Hovey (C, W, F), dove W è una classe spessa di oggetti aciclici e (C ∩ W, F) e (C, F ∩ W) sono coppie di cotorsione complete. Nel capitolo finale, seguendo i lavori di Gillespie e di Yang–Ding, mostriamo che una coppia di cotorsione (D, E) completa ed ereditaria su C induce una coppia compatibile di coppie di cotorsione su Ch(C), e che sotto opportune ipotesi di esattezza su C queste formano una tripla di Hovey. Applicando questo risultato alla coppia di cotorsione (Ob(C), Inj(C)) si ottiene la struttura di modello iniettiva su Ch(C), realizzando D(C) come categoria omotopica.

The goal of this thesis is to construct a model structure on the category of chain complexes Ch(C) of a Grothendieck category C whose homotopy category is the derived category D(C). After reviewing the necessary background on abelian categories and Grothendieck categories, we introduce the language of model categories following Quillen and construct the associated homotopy category via cofibrant and fibrant replacement. We then present Hovey's correspondence theorem, which identifies abelian model structures with Hovey triples (C, W, F), where W is a thick class of acyclic objects and (C ∩ W, F) and (C, F ∩ W) are complete cotorsion pairs. In the final chapter, following work of Gillespie and of Yang–Ding, we show that a complete hereditary cotorsion pair (D, E) on C induces a compatible pair of cotorsion pairs on Ch(C), and that under suitable exactness hypotheses on C these form a Hovey triple. Applying this to the cotorsion pair (Ob(C), Inj(C)) yields the injective model structure on Ch(C), realising D(C) as a homotopy category.