Teorema spettrale in analisi funzionale

Abstract

Il presente lavoro di tesi è dedicato allo studio e all’estensione del teorema spettrale, risultato fondamentale dell’algebra lineare che garantisce la diagonalizzabilità unitaria delle matrici hermitiane. L’obiettivo principale è sviluppare un’analoga teoria in ambito infinito-dimensionale, con particolare riferimento agli operatori compatti e autoaggiunti su spazi di Hilbert. Si dimostra come lo spettro di questi è costituito da un insieme al più numerabile di autovalori reali con possibile punto di accumulazione nell’origine. Tale risultato consente di formulare il teorema spettrale nella forma di Hilbert-Schmidt, che assicura l’esistenza di una base ortonormale di autovettori. Viene inoltre analizzata un'estensione al caso di operatori compatti e non autoaggiunti, introducendo la decomposizione ai valori singolari per operatori compatti. Infine, la trattazione si conclude con la generalizzazione del teorema spettrale agli operatori limitati autoaggiunti non necessariamente compatti, mediante l’introduzione delle misure spettrali associate a un elemento dello spazio, che permettono una rappresentazione di diagonalizzazione in termini di operatori di moltiplicazione su opportuni spazi di misura.

This thesis is dedicated to the study and extension of the spectral theorem, a fundamental result in linear algebra that guarantees the unitary diagonalization of Hermitian matrices. The main objective is to develop an analogous theory in the infinite-dimensional setting, with particular emphasis on compact self-adjoint operators on Hilbert spaces. It is shown that the spectrum of such operators consists of at most a countable set of real eigenvalues, with a possible accumulation point at zero. This result allows for the formulation of the spectral theorem in the Hilbert–Schmidt form, which ensures the existence of an orthonormal basis of eigenvectors. Furthermore, an extension to the case of non-self-adjoint compact operators is analyzed, introducing the Singular Value Decomposition (SVD) for compact operators. Finally, the work concludes with a generalization of the spectral theorem to bounded self-adjoint operators not necessarily compact, by introducing spectral measures associated with an element of the Hilbert space, which provide a diagonalization in terms of multiplication operators on suitable measure spaces.