Modelli di mercati finanziari: dalla volatilità costante alla volatilità stocastica

Abstract

In questa tesi viene trattata la modellizzazione matematica dei mercati finanziari al fine di studiare due problemi pratici inerenti l'acquisto e la vendita di opzioni: la valutazione e la copertura. Un'opzione è un contratto finanziario che dà il diritto, ma non l'obbligo, di comprare o vendere una certa quantità di un titolo sottostante ad una data futura fissata e ad un prezzo prestabilito. La valutazione consiste nel determinare un prezzo equo per l'opzione, mentre la copertura ha come obiettivo la determinazione di una strategia in grado di replicare il valore finale dell'opzione per coprirsi dal rischio di mercato. Per la formalizzazione matematica si ricorre all'analisi stocastica: nel Capitolo 1 viene introdotta la teoria del moto browniano, dell'integrale di Ito e delle equazioni differenziali stocastiche. Nel Capitolo 2 viene illustrata la teoria dei modelli di mercati a tempo continuo, introducendo le misure martingala e studiando il loro legame con i problemi di valutazione e completezza. Nel Capitolo 3 viene presentato il modello di Black&Scholes, dove si assume che la volatilità sia costante. Nel Capitolo 4 si introduce una famiglia di modelli in cui la volatilità non è più deterministica ma è un processo stocastico. Infine nel Capitolo 5 viene mostrato un modello appartenente a questa famiglia: il modello di Heston.

This thesis addresses the mathematical modeling of financial markets to study two practical problems inherent in the purchase and sale of options: pricing and hedging. An option is a financial contract that gives the right, but not the obligation, to buy or sell a certain quantity of an underlying security at a specified future date and at a predetermined price. Pricing involves determining a fair price for the option, while hedging involves determining a strategy capable of replicating the option's final value to hedge against market risk. Stochastic analysis is used for the mathematical formalization: Chapter 1 introduces the theory of Brownian motion, the Ito integral and stochastic differential equations. Chapter 2 illustrates the theory of continuous-time market models, introducing martingale measures and studying their relationship to pricing and completeness issues. Chapter 3 presents the Black & Scholes model, where volatility is assumed to be constant. Chapter 4 introduces a family of models in which volatility is no longer deterministic but a stochastic process. Finally, Chapter 5 presents a model belonging to this family: the Heston model.