Spazi di Eilenberg-MacLane, Omologia e Coomologia di gruppi

Abstract

La presente tesi si pone l'obiettivo di analizzare la costruzione e le proprietà degli spazi di Eilenberg-MacLane di tipo K(G,1), per poi utilizzarli al fine di dimostrare l'equivalenza tra la definizione topologica e quella algebrica della (co)omologia di gruppi. Il lavoro sfrutta concetti fondamentali della topologia algebrica, verrà inoltre introdotta la costruzione induttiva dei CW-complessi tramite incollamento di celle. Successivamente, si procede alla costruzione esplicita degli spazi di Eilenberg-MacLane partendo dallo spazio universale EG e arrivando a definire lo spazio classificante BG, dimostrando che tutti gli spazi $ K(G,1) sono debolmente omotopicamente equivalenti e fornendo così una prima definizione "topologica" della (co)omologia di un gruppo. Dal punto di vista puramente algebrico, la trattazione si sviluppa introducendo l'anello di gruppo $\mathbb{Z}[G]$, i concetti di risoluzione libera e proiettiva, per arrivare a definire i gruppi di omologia e coomologia tramite i funtori derivati Tor ed Ext. Il risultato centrale dell'elaborato dimostra infine che l'omologia algebrica di un gruppo coincide con l'omologia topologica del suo spazio classificante $K(G,1)$. Si stabilisce così un isomorfismo formale che conferma la piena equivalenza tra l'approccio basato sulle risoluzioni proiettive e quello fondato sugli spazi topologici. Chiudendo in questo modo il collegamento tra l'approccio algebrico e topologico.

This thesis aims to analyze the construction and properties of Eilenberg-MacLane spaces of type K(G,1), to then utilize them in proving the equivalence between the topological and algebraic definitions of group (co)homology. The work leverages fundamental concepts of algebraic topology; furthermore, the inductive construction of CW-complexes via cell attachment will be introduced. Subsequently, we proceed with the explicit construction of Eilenberg-MacLane spaces starting from the universal space EG and the classifying space BG. By proving that all K(G,1) spaces are weakly homotopy equivalent, we thus provide an initial "topological" definition of the (co)homology of a group. From a purely algebraic standpoint, the discussion unfolds by introducing the group ring \mathbb{Z}[G] alongside the concepts of free and projective resolutions, ultimately leading to the definition of homology and cohomology groups via the derived functors Tor and Ext.Finally, the central result of this work demonstrates that the algebraic homology of a group coincides with the topological homology of its classifying space K(G,1). A formal isomorphism is thus established, confirming the full equivalence between the approach based on projective resolutions and the one founded on topological spaces, thereby closing the loop between the algebraic and topological approaches.