Spazi di Hilbert a nucleo riproducente e processi Gaussiani

Abstract

L'obiettivo di questa tesi è studiare come associare spazi di Hilbert a nucleo riproducente ai processi Gaussiani, procedura che trova le sue applicazioni nel campo del Machine Learning per quanto riguarda l'apprendimento statistico. Nella prima parte, di carattere analitico, vengono presentate la definizione ed alcune proprietà degli spazi di Hilbert a nucleo riproducente, oltre al legame di questi ultimi con i nuclei semidefiniti positivi. In seguito, tramite un approccio probabilistico, viene studiata esplicitamente la costruzione di spazi di Hilbert a nucleo riproducente associati ai processi Gaussiani a valori reali e alle variabili aleatorie Gaussiane a valori in spazi di Hilbert separabili.

This thesis explores the relationship between reproducing kernel Hilbert spaces (RKHS) and Gaussian processes, a connection highly relevant to the field of Machine Learning, particularly within Statistical Learning. The work begins with an analytical foundation, introducing the definition of RKHS and detailing some of their properties. Subsequently, the thesis investigates the explicit construction of RKHS associated with both real-valued Gaussian processes and Gaussian random variables taking values in separable Hilbert spaces.