Teorema di Preissman

Abstract

Il Teorema di Preissmann afferma che data una varietà di Riemann compatta, con curvatura sezionale negativa, ogni sottogruppo non banale del gruppo fondamentale è infinito e ciclico. Questo risultato può essere sviluppato ulteriormente, per dimostrare che il gruppo fondamentale può essere abeliano solo se costituito dal solo elemento neutro. In questa tesi sono sviluppati la maggior parte degli strumenti necessari per arrivare a dimostrare direttamente il Teorema. Nel primo capitolo è definito quello che sarà l'ambiente di lavoro in cui si dimostrerà il Teorema di Preissmann, ossia quello delle varietà di Riemann. In questo capitolo, oltre alle definizioni immediate riguardanti alle varietà di Riemann, è data la nozione di curvatura sezionale e la sua relazione con la curvatura di Gauss per una superficie differenziabile; e quella di connessione per poter definire le curve geodetiche, strumento essenziale per la dimostrazione del Teorema. Nel secondo capitolo sono illustrati principalmente due strumenti della topologia algebrica: il gruppo fondamentale e la teoria dei rivestimenti topologici. Il terzo capitolo inizia dimostrando il Teorema di Cartan, che afferma che in una varietà di Riemann compatta ogni classe d'omotopia, di lacci non fissati, ammette una curva geodetica chiusa, se non contiene il cammino costante. Questo risultato, insieme ad una serie di lemmi che mettono in relazione tra loro le traslazioni lungo geodetiche, del rivestimento universale della varietà, con gli automorfismi di rivestimento, porta al Teorema di Preissmann come una veloce conseguenza di quanto discusso nel capitolo. La tesi termina dimostrando che il gruppo fondamentale di una varietà di Riemann compatta, con curvatura sezionale negativa, è abeliano solo se banale.

The Preissmann's Theorem states that given a compact Riemannian manifold, with negative sectional curvature, every subgroup of the fundamental group is infinite and cyclic. This result can be developed to show that the fundamental group can be abelian only if the group is trivial. In this thesis we will face the necessary mathematical tools to prove directly the Preissmann's Theorem. In the first chapter we are going to establish the mathematical enviroment of the Riemannian manifolds, in which we are going to prove the Theorem. In this chapter, besides the initial definition about Riemann's manifolds, is given the definition of sectional curvature and its relation with the gaussian curvature of a differentiable surface and the definition of affine connection, necessary in order to talk about geodesics, which will essential for the proof of the Theorem. Two tools of algebraic topology are shown in the second chapter: the fundamental group and the theory of topological coverings. The third chapter starts proving the Cartan's Theorem, which states that in a compact Riemannian manifold every homotopy class, of loops with no fixed point, has a closed geodesic as its element. This result, with some lemmas that put in relation translations along a geodesic, in the universal covering of the manifold, with covering automorphism, brings to prove the Preissmann's Theorem as a quick consequence of what has been discussed in this chapter. The thesis ends proving, as a corollary of the Theorem, that the fundamental group of a compact Riemannian manifold with negative curvature is abelian only if is trivial.