Modelli group-based su alberi filogenetici e geometria torica

Abstract

In questa tesi studiamo le varietà filogenetiche associate a modelli group-based attraverso il linguaggio della geometria torica. Nel Capitolo 1 introduciamo gli alberi filogenetici, i modelli evolutivi e le strutture algebriche che emergono dai processi di Markov sugli alberi. Il Capitolo 2 sviluppa la trasformata di Fourier discreta su gruppi abeliani finiti e la applica ai modelli group-based, mostrando che la mappa di distribuzione congiunta diventa una parametrizzazione monomiale la cui immagine è una varietà torica. Nel Capitolo 3 richiamiamo le nozioni fondamentali sulle varietà toriche, sui semigruppi affini e sui politopi. Il Capitolo 4 fornisce una descrizione combinatoria delle varietà filogenetiche group-based mediante le networks (o flussi) sull’albero, e introduce il relativo semigruppo e politopo associati. Infine, dimostriamo che quando un albero viene decomposto lungo uno spigolo interno in due sottoalberi, l’ideale della varietà risultante è un toric fiber product nel senso di Sullivant. Complessivamente, la tesi unifica i modelli group-based classici con i metodi della geometria torica, fornendo una descrizione combinatoria e algebrica esplicita della loro geometria.

In this thesis we study phylogenetic varieties on group-based models through the framework of toric geometry. In Chapter 1 we introduce phylogenetic trees, evolutionary models, and the algebraic structures arising from Markov processes on trees. Chapter 2 develops the discrete Fourier transform on finite abelian groups and applies it to group-based models, showing that the joint distribution map becomes a monomial parametrization whose image is a toric variety. In Chapter 3 we review the necessary background on toric varieties, affine semigroups, and polytopes. Chapter 4 establishes a combinatorial description of group-based phylogenetic varieties using networks (or flows) on the tree, identifies the corresponding network semigroup, and network polytope. Finally, we prove that when a tree is decomposed along an interior edge into two subtrees the ideal of the variety is a toric fiber product in the sense of Sullivant . Overall, the thesis unifies classical group-based models with toric methods, giving an explicit combinatorial and algebraic description of their geometry.