Dal Trasporto Ottimale Classico al Multi-Marginale: Esistenza, Dualità e Teoria del Funzionale della Densità.

Abstract

Capitolo 1 raccoglie il materiale preliminare — definizioni, proposizioni e teoremi — utilizzati nella tesi. Il Capitolo 2 introduce il problema a due marginali attraverso la formulazione di Monge, mostra tramite controesempi espliciti perché il problema di Monge e' in generale mal posto, e passa poi alla formulazione di Kantorovich, nella quale viene enunciato e dimostrato un teorema di esistenza di un piano ottimale. Il Capitolo 3 estende la discussione al caso multi-marginale . Viene enunciato un teorema di esistenza di un piano ottimale e sviluppata la teoria della dualità: prima la dualità “debole”, poi — sotto opportune ipotesi — la dualità “forte”. Nel corso del capitolo vengono introdotti e generalizzati concetti standard come la c-ciclica monotonia e il fatto che il supporto di un piano ottimale sia c-ciclicamente monotono. L’ultima sezione e' dedicata alla dimostrazione del teorema di Brenier per il caso di due marginali. Il Capitolo 4 presenta un’applicazione del trasporto ottimale multi-marginale alla teoria funzionale della densità (DFT). Dopo aver introdotto le basi teoriche della DFT e impostato il quadro del trasporto ottimale multi-marginale (MMOT) per il costo di Coulomb, viene dimostrata una condizione necessaria affinche' un piano sia di trasporto sia ottimale: sotto opportune ipotesi, ogni piano multi-marginale ottimale assegna massa nulla alle configurazioni in cui due particelle sono troppo vicine (equivalentemente, dove il costo di interazione tra coppie è eccessivamente grande). Grazie a questo risultato, viene poi dimostrata la dualità per il costo di Coulomb.

Chapter 1 gathers preliminary material—definitions, propositions, and theorems—used throughout the thesis. Chapter 2 introduces the two-marginal problem via Monge’s formulation, illustrates through explicit counterexamples why Monge’s problem is generally ill-posed, and then passes to the Kantorovich formulation, where we state and prove an existence theorem for optimal transport plans. Chapter 3 extends the discussion to the multi-marginal setting (N marginals). We establish an existence theorem for optimal plans and develop the duality theory: first easy duality, then—under suitable assumptions—strong duality, showing that there is no duality gap between the Kantorovich primal and its dual. Along the way, we introduce and generalize standard notions such as c-cyclical monotonicity and the fact that the support of an optimal plan is c-cyclically monotone. The final section is devoted to state and prove the Brenier theorem for N = 2 marginals. Chapter 4 presents an application of multi-marginal optimal transport to density functional theory (DFT). After introducing the DFT background and setting up the MMOT framework for the Coulomb cost, we prove a necessary condition for optimality (a “diagonal-bounds” result): under appropriate hypotheses, every optimal multi-marginal plan assigns zero mass to configurations in which two particles are too close (equivalently, where the pairwise cost is excessively large). Thanks to this result, we will prove the duality for the Coulomb cost.