Aspetti termodinamici di alcune perturbazioni dello stato di Unruh per buchi neri in formazione

Abstract

L’obiettivo di questo lavoro è derivare una formula chiusa per l’entropia relativa di perturbazioni dello stato di Unruh rispetto allo stato non perturbato, nel contesto dell'approccio algebrico alla teoria quantistica di campi (AQFT). La teoria quantistica dei campi su spazi-tempo curvi mostra che la nozione di stato di vuoto dipende dall’osservatore, come evidenziato dall’effetto Hawking. Nel contesto dei buchi neri, tale concetto è rappresentato dallo stato di Unruh, che descrive la propagazione di un campo quantistico libero sullo spaziotempo generato da un collasso gravitazionale. Questo stato è regolare attraverso l’orizzonte degli eventi e, quando ristretto alla regione esterna, riproduce la radiazione di Hawking alla temperatura corrispondente.

La tesi analizza le perturbazioni dello stato di Unruh in AQFT, con particolare attenzione a grandezze termodinamiche come l’entropia relativa. Nei sistemi descritti da algebre finito dimensionali, essa si riduce alla divergenza di Kullback–Leibler, mentre in AQFT è necessario utilizzare la definizione di Araki, che coinvolge l’operatore modulare relativo. Ciò rende il problema più complesso, poiché formule esplicite per tali operatori sono in generale inaccessibili.

Dopo aver formulato la teoria del campo di Klein–Gordon nello spaziotempo di Schwarzschild, si ottengono espressioni esplicite per l’entropia relativa degli stati di Unruh perturbati rispetto a quello originale. Il risultato principale mostra che tale entropia è proporzionale all’area dell’orizzonte, fornendo così una derivazione rigorosa della relazione entropia–area per bosoni non-massivi.

L’analisi è limitata a una classe di perturbazioni localizzate all’orizzonte passato, che consente di esprimere l’entropia relativa come la traccia di un operatore limitato e di classe di traccia sullo spazio di Hilbert a una particella. La parte tecnica del lavoro è dedicata allo studio delle proprietà analitiche di tale operatore.

The aim of the present work is to derive a closed formula for the relative entropy of perturbations of the Unruh state with respect to the unperturbed state within the framework of algebraic quantum field theory (AQFT). Quantum field theory on curved spacetimes exhibits observer-dependent notions of vacuum states, as illustrated by the Hawking effect. In the black hole setting, this concept is captured by the Unruh state, which describes a free quantum field propagating on the background generated by the gravitational collapse. This state is regular across the event horizon and, when restricted to the exterior region, reproduces Hawking radiation at the Hawking temperature.

The focus of this thesis is the analysis of perturbations of the Unruh state in AQFT, with particular emphasis on thermodynamical quantities like the relative entropy. In finite-dimensional contexts, the relative entropy of a state with respect to a reference configuration reduces to the Kullback–Leibler divergence, whereas in AQFT one must instead rely on Araki’s definition involving the relative modular operator. This significantly increases the complexity of the problem, since explicit formulas for modular operators are in general inaccessible.

After formulating the quantum field theory of the Klein–Gordon field on Schwarzschild spacetime, we obtain explicit expressions for the relative entropy of perturbed Unruh states with respect to the original Unruh state. The main result shows that this relative entropy is proportional to the horizon area, thereby providing a rigorous derivation of the entropy–area relation for massless bosons.

The analysis is restricted to a suitable class of perturbations localized at the past horizon, which enables a tractable expression for the relative entropy in terms of the trace of a bounded, trace-class operator on the one-particle Hilbert space. The technical part of the work is devoted to establishing the analytical properties of this operator.