Gruppi cristallografici e soluzioni di Bieberbach al 18° problema di Hilbert

Abstract

Questa tesi si concentra sullo studio dei gruppi cristallografici, oggetti matematici di grande importanza nello studio delle simmetrie di strutture periodiche che hanno preso parte al 18° problema di Hilbert. Dopo una prima introduzione al concetto di prodotto semidiretto e gruppo euclideo, si sviluppa la definizione formale dei gruppi cristallografici in dimensione n, presentando i principali risultati e aspetti teorici relativi ad essi. Successivamente, ci si restringe al caso bidimensionale, sviluppando più nel dettaglio i concetti di reticolo e di parallelogramma ridotto tramite i quali è possibile avviare il processo di catalogazione delle 17 classi di gruppi cristallografici bidimensionali. Infine, nell'ultimo capitolo, si discutono gli enunciati e le relative dimostrazioni dei teoremi scritti da Biebeberbach in risposta al problema sollevato da Hilbert.

This thesis focuses on the study of crystallographic groups, mathematical objects of great importance in the investigation of symmetries of periodic structures, which are also related to Hilbert’s 18th problem. After an initial introduction to the concept of semidirect products and euclidean group, the formal definition of the crystallographic groups in n dimensions is developed, together the main therorical aspect and results related to them. After it, the work narrows to the bidimensional case, analyzing in greater detail the notions of lattice and reduced parallelogram, which provide the basis for the classification of the 17 types of two-dimensional crystallographic groups. Finally, the last chapter discusses the statements and proofs of Bieberbach’s theorems, written in response to the problem raised by Hilbert.