Lo spazio di Hilbert delle funzioni olomorfe

Abstract

Questa tesi si propone di mettere in relazione analisi complessa e funzionale, andando ad esplorare lo spazio di Hilbert delle funzioni olomorfe e uno dei risultati più significativi che ne derivano: il nucleo di Bergman. Quest'ultimo è uno strumento di particolare interesse la cui applicazione primaria è quella di fornire una rappresentazione alternativa delle funzioni tramite un integrale. L’elaborato prenderà dunque avvio dalla costruzione dello spazio delle funzioni olomorfe a quadrato sommabile, che verrà mostrato essere uno spazio di Hilbert. Questo permetterà di arrivare a definire formalmente il nucleo di Bergman, del quale saranno anche analizzate le prime proprietà. Infine, dopo avere stabilito l’esistenza in linea teorica di questo oggetto, si mostrerà come sia possibile calcolarlo esplicitamente sfruttando sia le basi ortonormali che i biolomorfismi. Il tutto sarà corredato da esempi notevoli che mettono in luce l'efficacia di tali metodi.

This thesis aims to connect complex and functional analysis by exploring the Hilbert space of holomorphic functions and one of its most significant outcomes: the Bergman kernel. Specifically it is a particularly interesting object, whose primary application is to provide an alternative representation of functions through an integral. The work will begin with the construction of the space of square-integrable holomorphic functions, which will be shown to be a Hilbert space. This will lead to a formal definition of the Bergman kernel, along with a discussion of its fundamental properties. Finally, after establishing its theoretical existence, it will be shown how the Bergman kernel can be explicitly computed by means of orthonormal bases and biholomorphisms. The exposition will be complemented with notable examples that highlight the effectiveness of these methods.