Strumenti topologici per l'analisi di dati: un'applicazione dell'omologia persistente all'ambito idrogeologico

Abstract

L'elaborato tratta innanzitutto dell'analisi topologica dei dati (TDA), basata sull'idea che sia possibile associare una “forma” ai dati e che tale forma possa contenere informazioni rilevanti. La TDA è un approccio all’analisi dei dataset che utilizza strumenti di topologia algebrica per comprenderne la struttura e la forma, risultando particolarmente efficace su dati complessi, ad alta dimensionalità o rumorosi. Questa tesi si pone l'obiettivo di verificare se è possibile utilizzare questo approccio di analisi dei dati per individuare delle correlazioni o dei rapporti causa-effetto tra due insiemi di dati distinti siccome, tipicamente, viene utilizzato per rilevare possibili somiglianze tra forme di dataset. In particolare, per raggiungere questo obiettivo, è stato preso in considerazione il problema di cercare questo tipo di relazione tra un insieme di dati relativo alle precipitazioni e un insieme di dati relativo allo scostamento del terreno, osservati per un medesimo luogo. A tal fine, verranno introdotti i concetti fondamentali di topologia algebrica alla base della TDA, quali i simplessi, i complessi simpliciali e i gruppi di omologia. In seguito sarà presentata l’omologia persistente, lo strumento principale della TDA, insieme ai concetti di filtrazione, coppie e diagrammi di persistenza. Infine, verrà discusso il caso di studio sopra menzionato e saranno definiti ex novo sia oggetti matematici, volti a quantificare quanto due insiemi risultino più o meno legati da una relazione di tipo causa-effetto, sia quantità descrittive, necessarie a condurre l’analisi vera e propria.

This thesis first addresses Topological Data Analysis (TDA), which is based on the idea that it is possible to associate a “shape” with data and that such a shape may contain relevant information. TDA is an approach to dataset analysis that employs tools from algebraic topology to understand their structure and shape, proving particularly effective on complex, high-dimensional, or noisy data. The aim of this thesis is to investigate whether this analytical approach can be used to identify correlations or cause-effect relationships between two distinct datasets, since it is typically employed to detect possible structural similarities between them. In particular, to pursue this objective, the problem considered is that of seeking such a relationship between a dataset concerning precipitation and a dataset describing ground displacement, both observed in the same location. To this end, the fundamental concepts of algebraic topology underlying TDA will be introduced, such as simplices, simplicial complexes, and homology groups. Subsequently, persistent homology, the main tool of TDA, will be presented, along with the notions of filtration, pairs, and persistence diagrams. Finally, the aforementioned case study will be discussed, and new mathematical objects will be defined to quantify the extent to which two datasets are more or less linked by a cause-effect relation, as well as descriptive quantities necessary to carry out the analysis.