Funzione di Hilbert, teorema di Hilbert-Serre e risultati sulla molteplicità

Abstract

Questa tesi si pone come obiettivo l'introduzione al concetto di serie di Hilbert, uno strumento molto potente dell'algebra commutativa e strettamente legato al concetto di dimensione di un anello. Per iniziare la trattazione vedremo la definizione di anelli graduati, con alcune loro proprietà. Gli anelli graduati ci permettono di recuperare il concetto di grado dei polinomi e applicarlo ad esempio alla costruzione degli ideali omogenei. In seguito vedremo la definizione di funzione e serie di Hilbert e faremo qualche osservazione relative ad esse riguardo ad ideali monomiali. A tal proposito, vedremo anche due teoremi formulati a inizio Novecento dal matematico inglese Francis Sowerby Macaulay, che ci consentiranno di facilitare il calcolo delle serie di Hilbert. Quindi ci occuperemo del teorema centrale della tesi, ovvero il teorema di Hilbert-Serre, che deve il nome a David Hilbert, uno dei più importanti matematici della storia che visse a cavallo del diciannovesimo e del ventesimo secolo, e Jean-Pierre Serre, matematico francese ancora in vita. Per arrivare a enunciarlo e dimostrarlo avremo bisogno di introdurre il concetto di sequenze esatte, in particolare di sequenze esatte corte di moduli, e studiarne il legame con le serie di Hilbert. Conseguenze del teorema sono l'esistenza del polinomio di Hilbert e l'invarianza di molteplicità e dimensione di Krull, due oggetti che si ricavano dalla costruzione della serie di Hilbert e che ci danno un'idea sulla complessità e sulla grandezza dell'ideale omogeneo che stiamo studiando. L'ultimo capitolo è dedicato al teorema di Samuel-Nagata, studiato da Pierre Samuel e Masayoshi Nagata, matematici del ventesimo secolo rispettivamente francese e giapponese. La dimostrazione verrà presentata prima per alcuni casi semplici, poi verrà generalizzata nel caso in cui si lavori con campi algebricamente chiusi. Infine verranno presentati due esempi per mostrare la bontà della scelta delle ipotesi del teorema.

This thesis aims to introduce the concept of the Hilbert series, a powerful tool in commutative algebra that is closely connected to the notion of the dimension of a ring. We begin by defining graded rings and outlining some of their properties. Graded rings allow us to recover the notion of the degree of polynomials and, for example, to construct homogeneous ideals. Next, we define the Hilbert function and Hilbert series, making a few observations about them in the context of monomial ideals. In this connection, we present two theorems formulated at the beginning of the twentieth century by the English mathematician Francis Sowerby Macaulay, which facilitate the computation of Hilbert series. The central result of the thesis is the Hilbert–Serre theorem, named after David Hilbert—one of the most important mathematicians at the turn of the nineteenth and twentieth centuries—and the French mathematician Jean‑Pierre Serre, who is still alive. To state and prove this theorem, we introduce the concept of exact sequences, focusing in particular on short exact sequences of modules, and study their relationship with Hilbert series. Consequences of the theorem include the existence of the Hilbert polynomial and the invariance of multiplicity and Krull dimension—two invariants derived from the Hilbert series that provide insight into the complexity and size of the homogeneous ideal under study. The final chapter is devoted to the Samuel–Nagata theorem, developed by the twentieth‑century mathematicians Pierre Samuel and Masayoshi Nagata, French and Japanese respectively. The proof is first presented for some simple cases and then generalized to the setting of algebraically closed fields. Finally, two examples are provided to demonstrate the sharpness of the theorem’s hypotheses.