Sulla Logica dell'Alta Probabilità attraverso la Logica Condizionale e metodi di Teoria della Dimostrazione

Abstract

Le logiche condizionali svolgono un ruolo fondamentale sia nel linguaggio naturale che nel ragionamento formale, offrendo una rappresentazione più raffinata della condizionalità rispetto alla classica implicazione materiale. Questa tesi esplora due approcci principali alle logiche condizionali: l'approccio dei mondi possibili di Lewis e l'approccio probabilistico di Adams. In particolare, analizziamo la logica V di Lewis e le sue estensioni, oltre alla High Probability Logic (HPA) di Adams, concentrandoci sulle loro proprietà dimostrative.

Un contributo chiave di questo lavoro è la formalizzazione e chiarificazione della HPA di Adams, includendo dimostrazioni esplicite dei suoi principali risultati. Inoltre, sfruttando il calcolo dei sequenti interno IV, dimostriamo la completezza della logica V di Lewis rispetto a HPA, stabilendo una forte connessione tra questi due sistemi logici. In particolare, affiniamo la dimostrazione originale di equivalenza di Adams tra un frammento di VW e HPA, fornendo un'analisi più rigorosa e dettagliata.

Dal punto di vista della teoria della dimostrazione, utilizziamo calcoli dei sequenti di diverso tipo (interni e labelizzati) con forti proprietà strutturali per stabilire risultati fondamentali. Questo studio si inserisce in un filone di ricerca più ampio volto a sviluppare traslazioni tra calcoli dei sequenti con proprietà differenti, permettendo il trasferimento diretto di caratteristiche strutturali da un sistema all’altro.

I nostri risultati contribuiscono a una comprensione più approfondita del ragionamento condizionale e aprono nuove prospettive per futuri sviluppi nei contesti della logica probabilistica e modale.

Conditional logics play a fundamental role in both natural language and formal reasoning, offering a refined representation of conditionality beyond classical material implication. This thesis explores two major approaches to conditional logics: Lewis' possible worlds account and Adams' probabilistic account. In particular, we analyze Lewis' logic V and its extensions, as well as Adams' High Probability Logic (HPA), focusing on their proof-theoretic properties.

A key contribution of this work is the formalization and clarification of Adams' HPA, including explicit proofs of its main results. Moreover, by exploiting the internal sequent calculus IV, we demonstrate the completeness of Lewis’ logic V with respect to HPA, establishing a strong connection between these two logical systems. In particular, we refine Adams’ original equivalence proof between a fragment of VW and HPA, providing a more rigorous and detailed analysis.

From a proof-theoretic perspective, we employ sequent calculi of different kinds (internal and labelled calculi) with strong structural properties to establish key results. This study aligns with a broader research direction aimed at developing translations between sequent calculi with different properties, enabling the direct transfer of structural features from one system to another.

Our findings contribute to a deeper understanding of conditional reasoning and open new avenues for further developments in both probabilistic and modal logic frameworks.