Integrazione Browniana e modelli di mercato a tempo continuo: una presentazione rigorosa del modello di Black-Scholes.

Abstract

Il fine di questo elaborato è presentare in modo rigoroso i modelli di mercato a tempo continuo, con particolare attenzione al modello di Black-Scholes. Lo strumento necessario a questo scopo è il Calcolo Stocastico, specialmente l'Integrazione Browniana. Pertanto, dopo avere trattato dei principali concetti della teoria generale dei Processi stocastici, quali la nozione di filtrazione, tempo d'arresto e martingale, si descrive scrupolosamente la costruzione dell'integrale stocastico rispetto ad un moto Browniano. A questa trattazione segue una discussione precisa circa la decomposizione di Door-Meyer nel caso dell'integrale stocastico. Dopo avere introdotto il concetto di processo di Ito, si dimostra il lemma di Ito, contenente la famosa formula di Ito. Il secondo capitolo si chiude, in particolare, con una rigorosa dimostrazione del Teorema di Girsanov e del teorema di rappresentazione delle martingale Browniane, risultati preziosi per il prosieguo. La teoria discussa viene, nel seguito, applicata al fine di presentare un modello generale di mercato a tempo continuo in cui i titoli rischiosi sono descritti da processi di Ito guidati da un moto Browniano multi-dimensionale. Si discute, in particolare, di misura martingala, prezzo di mercato del rischio e completezza. Solo nell'ultimo capitolo compare il modello di Black-Scholes. Quest'ultimo è trattato come un esempio uno-dimensionale del modello di cui si è poc'anzi parlato. Tuttavia, l'attenzione è ora rivolta a mostrare che il valore dei portafogli Markoviani, autofinanzianti soddisfa la celebre equazione di Black-Scholes. Applicando risultati di esistenza ed unicità per PDE paraboliche a coefficienti costanti, si dimostra l'esistenza e l'unicità del prezzo di Black-Scholes di derivati Europei. Infine, si deriva esplicitamente il prezzo di Black-Scholes di opzioni plain vanilla.

The main purpose of this degree thesis is to make a rigorous dissertation on continuous-time market models, especially Black-Scholes model. To this end, Stochastic Calculus is the necessary tool. After having discussed about general fundamental topics on continuous-time stochastic processes, such as filtrations, stopping-times and martingale, Brownian integration is treated in detail. In the sequel, Doob-Meyer decomposition is treated focusing on the case of stochastic integral. Having introduced the notion of Ito's process, Ito's lemma is proved. It follows a rigorous proof of Girsanov's Theorem and Brownian Martingale representation theorem. In the last two chapters, Ito calculus is applied to present a general continuous-time market model where financial assets are Ito's processes driven by a multidimensional Brownian motion. It is discussed on risk-neutral measures, market risk-price and completeness. It is only in the last chapter that Black-Scholes model is treated and it results only a one-dimensional case of the previous general model. Anyway, the focus is on showing that self-financing Markovian portfolios satisfy Black-Scholes equation. By applying existence and uniqueness results on parabolic constant coefficients PDE's, existence and uniqueness of Black-Scholes price of European options is proved. At the end, Black-Scholes price of plain vanilla options is explicitly derived.