Regolarizzazione di immagini con reti neurali per problemi inversi di Poisson tramite mirror descent

Abstract

I problemi inversi nell'imaging rivestono un ruolo centrale in applicazioni quali fotografia, biomedicina e microscopia, dove i dispositivi di acquisizione producono dati spesso distorti e affetti da rumore. La ricostruzione delle immagini richiede modelli matematici che descrivano il processo di acquisizione e tecniche di regolarizzazione per affrontare la natura mal posta del problema.

Gli approcci tradizionali utilizzano metodi di ottimizzazione iterativa, mentre le reti neurali profonde hanno recentemente mostrato prestazioni eccezionali, pur presentando limitazioni quali dipendenza dai dati di addestramento, scarsa interpretabilità e sensibilità al rumore. Per combinare i vantaggi degli approcci classici e data-driven, viene analizzato un metodo ibrido basato sui Deep Equilibrium Models (DEQ), costruito sull'algoritmo di ottimizzazione Mirror Descent. In presenza di rumore di Poisson, la divergenza di Kullback-Leibler viene adottata come termine di fedeltà ai dati, mentre il termine di regolarizzazione è appreso tramite una rete neurale parametrica.

In questo lavoro viene dimostrata la convergenza teorica dell'algoritmo proposto e presentata un'implementazione numerica applicata a problemi di denoising e deblurring, con risultati promettenti che combinano la robustezza dei modelli matematici e la flessibilità dell'apprendimento automatico.

Inverse problems in imaging play a central role in applications such as photography, biomedicine, and microscopy, where acquisition devices produce data that are often distorted and affected by noise. Image reconstruction requires mathematical models that describe the acquisition process and regularization techniques to address the ill-posed nature of the problem.

Traditional approaches rely on iterative optimization methods, while deep neural networks have recently shown exceptional performance, albeit with limitations such as dependence on training data, lack of interpretability, and sensitivity to noise. To combine the advantages of classical and data-driven approaches, a hybrid method based on Deep Equilibrium Models (DEQ) is analyzed, built upon the Mirror Descent optimization algorithm. In the presence of Poisson noise, the Kullback-Leibler divergence is adopted as a data fidelity term, while the regularization term is learned through a parametric neural network.

The theoretical convergence of the proposed algorithm is demonstrated, and a numerical implementation applied to denoising and deblurring problems is presented, yielding promising results that combine the robustness of mathematical models with the flexibility of machine learning.