Convoluzione in gruppi topologici

Abstract

Lo scopo di questa tesi è definire e approfondire le proprietà dell’operazione di convoluzione. Gli ambienti ideali per effettuare questo tipo di operazione sono gli spazi di misura a cui può essere associata un’operazione che li doti della struttura di gruppo. L’esempio più naturale è il caso dei gruppi topologici. Nel primo capitolo verranno quindi trattati brevemente i gruppi topologici e verrà dara la definizione di misura di Haar, una particolare misura sull’insieme dei Boreliani di un gruppo topologico che è invariante per traslazioni a sinistra e/o a destra rispetto alla moltiplicazione per elementi del gruppo. Nel secondo capitolo procederemo a definire la convoluzione, prima tra due misure regolari su un gruppo topologico, e poi tra due funzioni definite su un gruppo, analizzando i casi in cui questa sia ben definita. Infine introdurremo il concetto di identità approssimata, una particolare collezione di oggetti che permettono di introdurre una sorta identità per l’operazione di convoluzione negli insiemi dove non è presente.

The purpose of this thesis is to define and study the the properties of the convolution operation. The ideal settings for performing this type of operation are measure spaces, to which an operation can be associated that endows them with a group structure. The most natural example is that of topological groups. In the first chapter, we will briefly discuss topological groups and provide the definition of the Haar measure, a specific measure on the Borel sets of a topological group that is invariant under left and/or right translations with respect to multiplication by group elements. In the second chapter, we will proceed to define convolution, first between two regular measures on a topological group, and then between two functions defined on a group, analyzing the cases in which this operation is well-defined. Finally, we will introduce the concept of an approximate identity, a particular collection of objects that allows for the introduction of a sort of identity for the convolution operation in sets where it is not inherently present.