Problema di Hopf e relazioni tra algebre divisoriali e fibrazioni di Hopf

Abstract

La presente tesi esplora la profonda connessione tra le algebre divisoriali normate e i fibrati di Hopf, due concetti fondamentali in matematica. Introdotti da Heinz Hopf negli anni '30, i fibrati di Hopf sono particolari proiezioni tra sfere, dove le fibre sono esse stesse sfere. Un invariante topologico chiave associato a queste mappe è l'invariante di Hopf.

La tesi si focalizza sulla dimostrazione del fatto che i fibrati di Hopf corrispondono alle algebre divisoriali normate di dimensione finita sui reali. Questa corrispondenza è sorprendente e ha importanti implicazioni in diverse aree della matematica.

Nel primo capitolo, vengono introdotte le algebre divisoriali normate e dimostrati alcuni teoremi fondamentali sulla loro dimensione. Nel secondo capitolo, si definiscono i fibrati di Hopf e l'invariante di Hopf, e si enuncia il teorema di Adams che stabilisce una relazione precisa tra questi oggetti e le algebre divisoriali.

This thesis explores the deep connection between normed division algebras and Hopf fibrations, two fundamental concepts in mathematics. Introduced by Heinz Hopf in the 1930s, Hopf fibrations are special projections between spheres, where the fibers are themselves spheres. A key topological invariant associated with these maps is the Hopf invariant.

The thesis focuses on proving that Hopf fibrations correspond to finite-dimensional normed division algebras over the real numbers. This correspondence is surprising and has significant implications in various areas of mathematics.

In the first chapter, normed division algebras are introduced and some fundamental theorems about their dimension are proved. In the second chapter, Hopf fibrations and the Hopf invariant are defined, and Adams' theorem, which establishes a precise relationship between these objects and division algebras, is stated.