Passeggiate casuali e applicazioni alla psicologia sociale

Abstract

In teoria delle probabilità, in particolare nell’analisi dei processi stocastici, le passeggiate casuali occupano un ruolo fondamentale. Originariamente introdotte all’inizio del XX secolo, hanno trovato applicazioni in vari ambiti, dall’economia alla biologia, dalla fisica alla finanza, e persino nella psicologia. L’obbiettivo di questa tesi è fornire una panoramica generale delle passeggiate casuali, note anche come ”random walks”, provando ad applicarle alla psicologia sociale. Inizieremo con una introduzione al processo di Bernoulli, modello base per le passeggiate casuali, introducendo la sua definizione formale. Infine vedremo un esempio nell’ambito della psicologia sociale, in particolare riguardante lo studio del cosiddetto ”effetto spettatore”. Tramite il processo di Bernoulli potremo quindi definire le passeggiate casuali unidimensionali, quei modelli matematici utilizzati per descrivere la dinamica del moto di un punto che si muove casualmente su Z saltando, ad ogni istante e indipendentemente dai salti precedenti, da un intero al successivo con probabilità p oppure al precedente con probabilità 1 − p, con p ∈ (0, 1). Dimostreremo il principio di riflessione e calcoleremo la probabilità di ritornare al valore iniziale. In seguito ci concentreremo sulle passeggiate casuali simmetriche e partendo da degli esempi esporremo alcune proprietà come la probabilità che la passeggiata raggiunga valori elevati o che non ritorni al valore iniziale in un certo lasso di tempo. Inoltre vedremo come calcolare la legge del primo ritorno in 0 e del tempo trascorso dall’ultimo passaggio in quest’ultimo, vedendo infine una possibile applicazione delle passeggiate casuali allo studio della resilienza.

In probability theory, particularly in the analysis of stochastic processes, random walks play a fundamental role. Originally introduced at the beginning of the 20th century, they have found applications in various fields, from economics to biology, from physics to finance, and even in psychology.

The aim of this thesis is to provide a general overview of random walks, also known as "random walks", attempting to apply them to social psychology. We will start with an introduction to the Bernoulli process, the basic model for random walks, by introducing its formal definition. Finally, we will see an example in the field of social psychology, specifically concerning the study of the "bystander effect".

Through the Bernoulli process, we can define one-dimensional random walks, those mathematical models used to describe the dynamics of the motion of a point that moves randomly on Z, jumping at each instant and independently of the previous jumps, to the next integer with probability p or to the previous one with probability 1 - p, with p ∈ (0, 1). We will demonstrate the reflection principle and calculate the probability of returning to the initial value.

We will then focus on symmetric random walks and, starting with examples, will explain some properties such as the probability that the walk reaches high values or that it does not return to the initial value within a certain period of time. Additionally, we will see how to calculate the first return to 0 and the time elapsed since the last passage at this point, finally seeing a possible application of random walks to the study of resilience.