Modelli probabilistici nel gioco d'azzardo

Abstract

Nell'elaborato analizzeremo i metodi che un giocatore può adottare per influire positivamente sulla propria vittoria, concentrandoci in particolare sui giochi d’azzardo in cui la probabilità di vittoria è minore della probabilità di sconfitta. Dati a e c naturali, con 0<a<c, nel primo capitolo calcoleremo la probabilità che il giocatore raggiunga il capitale c desiderato partendo da un capitale iniziale a, e la probabilità che tale giocatore esaurisca il denaro posseduto prima di raggiungere il proprio obiettivo. Dimostreremo inoltre che tutti i sistemi attraverso cui i giocatori credono di potersi avvicinare alla vittoria con la sola conoscenza dell’esito delle prove passate sono infondati. Nel terzo capitolo introdurremo i betting system, cioè successioni di variabili aleatorie che rappresentano l’importo delle scommesse in una determinata prova, e gli stopping time, che indicano al giocatore quando smettere di scommettere. Un betting system unito ad uno stopping time costituisce una gambling policy (o schema di gioco). Vedremo che nessuno schema di gioco permette di trasformare un gioco sfavorevole in uno di profitto. Nonostante ciò è possibile massimizzare la probabilità di vittoria in un gioco sfavorevole adottando lo schema di gioco del bold play (gioco audace) che, grazie ad una scelta adeguata del capitale da puntare ad ogni prova, permette al giocatore di aumentare la propria probabilità di vittoria. Nell’ultimo capitolo dimostreremo quindi che, in un gioco sfavorevole, la probabilità di vittoria per un giocatore che adotta la policy del bold play è maggiore o uguale a quella che il giocatore otterrebbe adottando una qualsiasi altra policy.

In the paper, we will analyze the methods that a player can adopt to positively influence their chances of winning, focusing in particular on gambling games where the probability of winning is lower than the probability of losing. In the first chapter we will calculate the probability that the player reaches the capital c (with 0<a<c) starting from an initial capital of a, and the probability of gambler's ruin. In the second chapter we will also demonstrate that all systems through which players believe they can approach victory solely through knowledge of past outcomes are unfounded. In the third chapter, we will introduce betting systems, which are sequences of random variables representing the amount of bets in a particular trial, and stopping times, which indicate when the player should stop betting. A betting system combined with a stopping time constitutes a gambling policy. We will see that no gaming scheme allows transforming an unfavorable game into a profitable one. However, it is possible to maximize the probability of winning in an unfavorable game by adopting the bold play gaming scheme, which, through an appropriate choice of the capital to bet on each trial, allows the player to increase their chances of winning. In the last chapter, we will demonstrate that, in an unfavorable game, the probability of winning for a player adopting the bold play policy is greater than the probability that the player would obtain by adopting any other policy.