Teoremi di metrizzabilità per spazi topologici

Abstract

Questa tesi si inquadra nell’ambito della topologia generale, la branca della matematica che si occupa delle proprietà generali degli spazi topologici. Partendo dalla definizione di distanza tra due punti e dal relativo concetto di spazio metrico, analizzeremo sotto quali condizioni uno spazio topologico è metrizzabile. Nello specifico approfondiremo uno dei punti d’interesse più noti, ovvero trovare delle condizioni necessarie e sufficienti affinchè uno spazio topologico sia metrizzabile. Lo scopo dell'elaborato è quello di analizzare le dimostrazioni dei teoremi di Urysohn, Alexandroff-Urysohn, Nagata-Smirnov e Bing e presentare alcuni risultati che ne derivano. La tesi è divisa in tre capitoli. Il primo è dedicato ad enunciare definizioni e concetti fondamentali nello studio degli spazi metrizzabili, qui vengono ripresi i concetti di distanza o metrica, di spazio metrico e metrizzabile, di omeomorfismo, di paracompattezza, gli assiomi di separazione e numerabilità con alcune loro prime caratterizzazioni e il teorema di Stone con relative proposizioni e corollari. Nel secondo capitolo, nella prima parte andremo ad analizzare più a fondo il teorema di metrizzabilità di Urysohn, dando delle nozioni necessarie alla sua dimostrazione, nella seconda passeremo al teorema stesso e ad un controesempio diretto della non necessità delle ipotesi. Nel terzo capitolo ci occuperemo invece di enunciare e dimostrare i teoremi di metrizzabilità più recenti, già citati all'inizio del testo, assieme ad alcuni corollari interessanti. Come ultimo argomento daremo dei cenni sugli studi relativi agli spazi di Moore, che nel secolo scorso hanno costituito una parte cospicua dello studio riguardo gli spazi topologici.

This thesis is framed within the framework of general topology, the branch of mathematics that deals with the general properties of topological spaces. Starting with the definition of distance between two points and the related concept of a metric space, we will analyze under what conditions a topological space is metrizable. More specifically we will delve into one of the most well-known points of interest, namely, finding necessary and sufficient conditions for a topological space to be metrizable. The purpose of the paper is to analyze the proofs of the theorems of Urysohn, Alexandroff-Urysohn, Nagata-Smirnov and Bing and to present some results derived from them. The thesis is divided into three chapters. The first is devoted to enunciating fundamental definitions and concepts in the study of metrizable spaces, the concepts of distance or metric, metric space and metrizable space, homeomorphism, paracompactness, the axioms of separation and numerability with some early characterizations of them and Stone's theorem with related propositions and corollaries. In the second chapter, firstly we will go on to analyze Urysohn's metrizability theorem in more depth, giving notions necessary for its proof, then in the second part, we will move on to the theorem and to a direct counterexample of the non-necessity of assumptions. Instead, in the third chapter we will deal with stating and proving the most recent metrizability theorems, already mentioned at the beginning of the text, and some interesting corollaries. As a final topic, we will give hints about studies regarding Moore spaces, which have formed a conspicuous part of the study concerning topological spaces in the past century.