Spazi di probabilità quantistica finito-dimensionali

Abstract

Lo scopo di questo elaborato è introdurre gli spazi di probabilità quantistica: vengono studiati, in particolare, quelli di dimensione finita. Nel primo capitolo vengono stabilite le notazioni di uso corrente e introdotti i requisiti essenziali per lo studio degli spazi di probabilità quantistica. Nel secondo capitolo viene presentato il modello di probabilità di von Neumann: esso è stato introdotto perché in meccanica quantistica ci sono degli eventi che singolarmente si possono osservare, ma di cui non si può valutare empiricamente la probabilità che se ne verifichi l’intersezione. In particolare, traduciamo nel caso quantistico alcuni aspetti della probabilità classica, a partire dalla definizione di spazio di probabilità, e definiamo l’analogo di una variabile aleatoria X e della sua speranza. Nel terzo capitolo analizziamo un insieme particolare di variabili aleatorie: le matrici di Pauli. Ne evidenziamo alcune proprietà e studiamo la loro distribuzione. Infine, nell’ultimo capitolo, vengono introdotti i concetti di varianza e covarianza nell’analogo quantistico, per poi enunciare e dimostrare il principio di indeterminazione di Heisenberg.

The purpose of this paper is to introduce quantum probability spaces, focusing particularly on those of finite dimension. Chapter one establishes commonly used notations and introduces the essential requirements for studying quantum probability spaces. Chapter two presents von Neumann's probability model: it has been introduced because in quantum mechanics, there are events that can be observed individually, but their intersectional probability cannot be empirically evaluated. Specifically, we translate certain aspects of classical probability into the quantum case, starting from the definition of a probability space, and define the analogue of a random variable X and its expectation. In chapter three, we analyze a particular set of random variables: the Pauli matrices. We highlight some properties and study their distribution. Finally, in the last chapter, the concepts of variance and covariance in the quantum analogue are introduced, followed by the statement and proof of Heisenberg's uncertainty principle.