Teoria e pratica dell'omologia persistente: un'indagine sull'efficacia dell'analisi topologica dei dati

Abstract

Questa tesi esplora la nozione di omologia persistente, un potente strumento dell'analisi topologica dei dati, con particolare attenzione alla sua applicazione nella classificazione di immagini di superfici crepate. Si inizia definendo concetti base come complessi simpliciali, complessi delta e l'omologia simpliciale. In particolare, viene costruito un ponte tra l'omologia singolare e l'omologia simpliciale, rivelando l'intercambiabilità delle conoscenze tra i due domini. Lo studio progredisce fino a definire l'omologia persistente e la nozione essenziale di filtrazione. Si illustrano vari metodi di costruzione di filtrazioni da insiemi di dati, enfatizzando il complesso di Čech e il complesso di Vietoris-Rips. Quest'ultimo, applicato alle immagini di superfici crepate, opportunamente elaborate attraverso la binarizzazione e l'aggiunta di un bordo, svela un nuovo approccio al rilevamento delle crepe. Il primo gruppo di omologia persistente diventa una metrica chiave, rappresentando il numero di buchi nel complesso e servendo come caratteristica distintiva per la classificazione delle crepe. Si presentano esempio pratici e i relativi diagrammi di persistenza per evidenziare i punti di forza e i limiti del metodo. Il culmine è rappresentato dalla creazione di una matrice di confusione, fornendo una valutazione completa dell'accuratezza predittiva del modello rispetto alla verità. Infine, viene condotta un'analisi comparativa con gli algoritmi tradizionali di apprendimento automatico, in particolare con le macchine a supporto vettoriale (SVM) e le foreste casuali. Sorprendentemente, l'omologia persistente emerge come strumento più efficace per la classificazione della superficie delle crepe, dimostrando la sua superiorità rispetto ai metodi convenzionali. Questo studio contribuisce non solo alla comprensione teorica dell'omologia persistente, ma mostra anche la sua abilità pratica nelle applicazioni del mondo reale, in particolare nella classificazione d'immagini.

This thesis explores the notion of persistent homology, a powerful tool in topological data analysis, with a focus on its application in surface crack images classification. The journey begins by establishing fundamental concepts, such as simplicial complexes, delta complexes, and simplicial homology. Notably, a bridge between singular homology and simplicial homology is constructed, revealing the interchangeability of knowledge between the two domains.

The exploration progresses to define persistent homology and the essential notion of filtrations. Various methods of constructing filtrations from datasets are elucidated, emphasizing the Čech complex and Vietoris-Rips complex. The latter, applied to surface crack images, appropriately elaborated through pixel binarization and padding, unveils a new approach to crack detection. The 1-persistent homology group becomes a key metric, representing the count of holes in the complex and serving as a distinctive feature for crack identification. A practical example is presented, wherein persistent diagrams are showed in order to illuminate the method's strengths and its limitations. The culmination involves the creation of a confusion matrix, providing a comprehensive evaluation of the model's predictive accuracy compared to ground truth. Furthermore, a comparative analysis is conducted against traditional machine learning algorithms, specifically Support Vector Machines (SVM) and Random Forests. Surprisingly, persistent homology emerges as a more effective tool for crack surface classification, demonstrating its superiority over conventional methods. This study contributes not only to the theoretical understanding of persistent homology but also showcases its practical prowess in real-world applications, particularly in image-based classification scenarios.