Basi di Groebner locali nell'anello delle serie formali

Abstract

Ogni anello commutativo con identità non nullo ha, per il Lemma di Krull-Zorn, almeno un ideale massimale. Un anello si dice locale se ha un solo ideale massimale. Un esempio di anello locale è l’anello delle serie di potenze formali, oggetto di studio di questa tesi. Vi sono vari modi di costruire l’anello delle serie di potenze formali, in analogia con il caso dell’anello dei polinomi. Nel primo capitolo è presente una possibile costruzione che parte dal caso univariato e poi viene estesa al caso multivariato. Successivamente sono presentate alcune proprietà e alcuni teoremi fondamentali nello studio dell'anello delle serie formali (il teorema di preparazione di Weierstrass e il teorema di Cohen). Il secondo capitolo è dedicato alla definizione delle basi di Gröbner locali sull’anello delle serie di potenze formali e all’esposizione di un algoritmo per il loro calcolo. Partendo dalla definizione di basi di Gröbner nell’anello dei polinomi, vista nell’insegnamento di Algebra 3, si estende tale concetto al caso dell’anello delle serie di potenze formali. Dal momento che le serie di potenze formali non possiedono un termine di grado massimo occorre definire un monomial ordering che non sia global come nel caso dei polinomi ma che sia local. La strategia adottata corregge l’algoritmo proposto da Buchberger nell'anello dei polinomi in quanto nel caso di un local ordering tale algoritmo non avrebbe termine e si basa sull’algoritmo proposto da Mora, per calcolare la forma normale. La trattazione scelta in questa tesi è un approfondimento della teoria vista negli insegnamenti seguiti durante il corso di laurea triennale, in particolare Algebra 2 e Algebra 3. Si precisa che gli argomenti trattati in questa tesi non sono stati affrontati in insegnamenti del corso di laurea, ma sono tratti principalmente da "A Singular Introduction to Commutative Algebra" di G. Pfister e G. M. Greuel.

Each commutative and unitary ring, which isn't zero, has, for Krull-Zorn Lemma, at least a maximal ideal. A ring is called local if it has only one maximal ideal. An example of local ring is the ring of formal power series, which is the object of study of this thesis. There are many different ways to construct the ring of formal series. In the first chapter there is one possible construction that begins with univariate case and then extends it to multivariate case. After that there are some properties and some fundamental theorems about ring of formal power series (i.e. Weierstrass' preparation Theorem and Cohen's Theorem). Second chapter is dedicated to definition of Gröbner local bases on the ring of formal power series and to explanation of an algorithm for the computation of them. Starting from the definition of Gröbner bases on polynomial ring, seen in the course Algebra 3, this concept is extended to the case of ring of formal power series. Because formal power series don't have a monomial with maximum degree, we have to define a monomial ordering that is local and not global, as in polynomial ring case. The strategy adopted corrects algorithm proposed by Buchberger on polynomial ring, beacuse with local ordering this algorithm doesn't end, and is based on the algorithm proposed by Mora for the computation of normal form. This thesis deals with topics that are related to theory seen in courses followed during the bachelor degree, e.g. Algebra 2 and Algebra 3. Topics cointained in this thesis don't come directly from the courses of bachelor degree, but are mostly contained in "A Singular Introduction to Commutative Algebra" by G. Pfister and G. M. Greuel.